Hexacontagone

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Un hexacontagone régulier.

Un hexacontagone est un polygone à 60 sommets, donc 60 côtés et 1 710 diagonales.

La somme des angles internes d'un hexacontagone non croisé vaut 10 440 degrés.

L'hexacontagone régulier est constructible.

Hexacontagones réguliers[modifier | modifier le code]

Un hexacontagone régulier est un hexacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (notés {60/k} pour k impair de 7 à 29 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {60}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hexacontagone régulier ».

Caractéristiques de l'hexacontagone régulier[modifier | modifier le code]

Chacun des 60 angles au centre mesure 360°/60 = 6° et chaque angle interne mesure 10 440°/60 = 174°.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le périmètre vaut P = 60 a ;
  • l'aire vaut A = 15 a2 cot(π/60), soit
  • l'apothème vaut H = 2A/P = (a/2) cot(π/60) ;
  • le rayon vaut

Constructibilité[modifier | modifier le code]

L'hexacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du triacontagone.

On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 60 est le produit de 4 (puissance de 2) par 3 et 5 (nombres premiers de Fermat distincts).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3° = π/60 rad