Parallélogramme

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Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Un parallélogramme.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Propriétés caractéristiques[modifier | modifier le code]

Pllgm Geometry.png

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes :

  • ce quadrilatère est un parallélogramme ;
  • ses diagonales se coupent en leurs milieux ;
  • ce quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
  • ce quadrilatère est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
  • ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
  • ce quadrilatère est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Un contre-exemple[modifier | modifier le code]

Un antiparallélogramme.

Contre-exemple montrant l'importance de l'hypothèse « non croisé » (ou « convexe ») dans deux des caractérisations ci-dessus.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Caractérisation vectorielle[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Équipollence (mathématiques) et Vecteur.
(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

  • on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
  • deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati ;
on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;
dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
  • on appelle vecteur \overrightarrow{AB} la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

Ainsi, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si {\textstyle \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}}.

Aire d'un parallélogramme[modifier | modifier le code]

L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.

Soient b la longueur d'un côté du parallélogramme et h la longueur de la hauteur associée. L'aire A du parallélogramme vaut :

A=b \times h.

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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