Théorème

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Un théorème est une affirmation (mathématique ou logique) qui peut être démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir des axiomes qui sous-tendent une théorie et d'éventuels résultats (théorèmes ou autres formes d'assertions) construits précédemment dans le cadre du même système d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.

Une proposition est dite théorème relativement à la théorie dans le cadre de laquelle elle est construite. Celle-ci peut être fausse, mais le statut de théorème de la proposition relativement à la théorie ne relève que de la vérité de l'implication entre la théorie et la proposition.

Un théorème se démontre à partir d'hypothèses de base et de règles d'inférence

La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Définition traditionnelle

Traditionnellement, un théorème était présenté comme une structure constituée de :

• les hypothèses : c'est-à-dire des conditions de base qui sont énumérées dans le théorème en plus des éléments déjà établis dans le cadre de la théorie ;
• une thèse également appelée conclusion : c'est-à-dire une affirmation mathématique ou logique que le théorème démontre comme vraie sous les hypothèses de base.
• La démonstration : Comme un théorème peut parfois être démontré de plusieurs façons très différentes (voir l'exemple des multiples démonstrations du Théorème de Pythagore), Seul le fait que la démonstration existe est constituant du théorème, mais pas le détail de cette démonstration. Une démonstration est un enchaînement d'inférence logique faisant intervenir les axiomes de la théorie sous jacente, les hypothèse du théorème, et des résultats précédemment établis dans le cadre de cette théorie.

Définition formelle

Soient F une formule et T une théorie, on dit que F est un théorème de T si et seulement si :

• Définition sémantique :

• • Tous les modèles de T sont des modèles de F, soit,
  • pour toute structure d'interprétation m, si m est modèle de T alors m est modèle de F. Ce qui se note :
  • si m |= T, alors m |= F, ou en abrégé :
  • T |= F
• Définition syntaxique :

Il existe une démonstration de F à partir de T, ce qui se note T |- F

Remarques  :

T peut être la théorie vide, c'est-à-dire sans axiomes. Dans ce cas F est un théorème de la logique sous-jacente. On dit dans ce cas que F est une tautologie de cette logique.

T peut être, pour exemples, l'axiomatique d'Euclide pour la géométrie ou l'arithmétique de Peano. Mais, lorsque T n'est pas précisée, généralement, la théorie sous-jacente est la théorie des ensembles avec axiome du choix, et la logique sous-jacente est le calcul des prédicats du premier ordre classique.

Les définitions syntaxiques et sémantiques ci-dessus coïncident pour toutes les logiques comportant un théorème de complétude, soit la plupart des logiques usuelles.

Autres considérations formelles

• Une théorie est équivalente à l'ensemble de ses théorèmes.

• Si une théorie est fausse, dans toute logique acceptant l'ex falso quodlibet, soit toutes les logiques usuelles, mais pas les logiques paraconsistantes, toute formule exprimable dans le langage de la théorie est un théorème de la théorie.

D'autres formes d'assertions

Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

• lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
• corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie.
• proposition : résultat relativement simple qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
• remarque : résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation ;
• conjecture : proposition mathématique dont on ignore la valeur de vérité. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème.

Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes) et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Articles connexes

• Liste des théorèmes pour une liste de théorèmes célèbres et de conjectures
• Théorème d'existence