Logarithme naturel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au XXe siècle, noté ln(), est un cas particulier de fonction logarithme, capable de transformer des produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles.

Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1.

Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x. La fonction logarithme népérien est donc la bijection réciproque de la fonction exponentielle. C'est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la fonction inverse x1/x.

Cette fonction fut notée l. ou l, dès le début du XVIIIe siècle[1], et jusque dans la première moitié du XIXe siècle[2], puis log.[3] ou log[4] dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)[5], ou encore logh (« logarithme hyperbolique »)[6], avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 1961[7] et ISO 80000-2[8] : la notation ln[9].

Représentation du graphe de la fonction logarithme naturel.

Historique[modifier | modifier le code]

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens[10]. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 1649[11]. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole[12]. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator[13]. Sa série exploitée par Newton (Method of Fluxions and Infinite series, 1671[14]), permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent[15]. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus « simple » et le plus naturel.

Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

La fonction x1/x est continue sur ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :

Étude de la fonction[modifier | modifier le code]

  • La fonction logarithme naturel est définie et dérivable (donc continue) sur ]0, +∞[ et pour tout réel x strictement positif,
  • Puisque sa dérivée est strictement positive, on en déduit que le logarithme naturel est strictement croissant.
  • Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont :
    C'est donc une bijection de ]0, +∞[ sur ℝ.
  • Son nombre dérivé au point 1 (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées (1, 0)) est :

La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identités logarithmiques.

Le logarithme naturel est un cas particulier de fonction logarithme, c'est-à-dire que pour tous réels x et y strictement positifs, on a

En effet, pour y > 0 fixé, la fonction x ↦ ln(xy) (définie sur ]0, +∞[) a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réelle k : ln(xy) = ln(x) + k, avec k = ln(y) puisque ln(1y) = ln(1) + k = k.

De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réels a et b strictement positifs :

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réel a strictement positif, le logarithme de base a en fonction du logarithme népérien :

La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle[modifier | modifier le code]

L'étude de la fonction logarithme naturel a montré que c'est une bijection de ]0, +∞[ dans ℝ. Sa bijection réciproque, de ℝ dans ]0, +∞[, coïncide avec la fonction exponentielle, puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sa caractérisation ci-dessus.

Autrement dit :

ce qui se résume en :

et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Cette relation permet d'exprimer toutes les autres fonctions exponentielles de base un réel a strictement positif par (pour tout réel x) :

Cette définition coïncide évidemment avec celle de ar pour r rationnel.

Développement en série[modifier | modifier le code]

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator.
La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série

C'est Nicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement en série entière de ln(1 + x) ; le rayon de convergence de ce développement est 1. On a donc la série de Taylor :

La formule de Taylor avec reste intégral permet de montrer que ce développement est encore valide pour x = 1. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée.

D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à x = –1[16]. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de 1/(1-1), c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : « la série harmonique tronquée en N est proche du logarithme de N lorsque N est grand ».

Pour obtenir une meilleure vitesse de convergence, on peut en déduire :

qui se réécrit :

Propriétés complémentaires[modifier | modifier le code]

Étude des limites[modifier | modifier le code]

Les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme naturel et d'une fonction puissance quelconque :

Dérivée logarithmique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivée logarithmique.

Pour toute fonction réelle dérivable u, la fonction composée ln∘|u| (définie en tout point où u ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée

Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme complexe.

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0, +∞[) s'est posée dès la seconde moitié du XVIIe siècle avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur ]0, +∞[ avec la fonction logarithme népérien réelle.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réel a strictement positif, ln(–a) = ln(a) + , mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction x ↦ |ln(x)|, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la valeur absolue comme un module :

pour a réel strictement positif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple (la) Leonhard Euler, « Variae observationes circa series infinitas », Commentarii academiae scientarum Petropolitanae, vol. 9,‎ , p. 160-188 ; aussi dans Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.
  2. Voir par exemple Augustin Cauchy, Exercices d'analyse et de physique mathématique, vol. 3, p. 379, lire en ligne sur Google Livres.
  3. Voir par exemple Adrien-Marie Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, an VI (1797 ou 1798).
  4. Voir par exemple (de) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Berlin, 1909 (2e éd. par Chelsea, New York, 1953).
  5. Voir les manuels scolaires en France jusqu'en 1972. Ou par exemple : Nikolaï Piskounov, Calcul différentiel et intégral, 5e éd., 1972, Éditions Mir, Moscou III.10 p. 91.
  6. Voir par exemple (en) L. B. W. Jolley, Summation of Series, 2e édition (révisée), Dover Publications, New York, 1961, lire en ligne.
  7. NF X 02-1 01 selon les tables numériques Labordes, p. VI, 1976.
  8. ISO 80000-2:2009, Organisation internationale de normalisation.
  9. Avec un succès cependant très relatif : la notation log est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres : voir par exemple cette note de (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions] (6e éd., Oxford, 2008, 1.7) « log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest. »
  10. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales, [détail des éditions], p. 214.
  11. Jean-Pierre Le Goff, « De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent », dans La démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Besançon.
  12. Simone Trompler, « L'histoire des logarithmes », ULB,‎ , p. 11.
  13. « Logarithme et quadrature de l'hyperbole » [PDF], sur site Euler de l'académie de Versailles, p. 3.
  14. Méthode de Newton pour le calcul des logarithmes naturels, La méthode des fluxions et des suites infinies sur Gallica, p. 102-105.
  15. Trompler 2002, p. 12.
  16. (la) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, tome 1, Bousquet, Lausanne, 1748, exemple 1, p. 228 ; aussi dans Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, vol. 8, Teubner, 1922.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

« Poser la modélisation comme question épistémologique pour l’introduction des propriétés des exponentielles dans les classes », conférence de Jean Dhombres : parties 1, 2 et 3