Fonction signe

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Graphe de la fonction signe

La fonction signe, ou signum en latin, souvent représentée sgn dans les expressions, est une fonction mathématique qui extrait le signe d'un nombre réel, c'est-à-dire que l'image d'un nombre par cette application est 1 si le nombre est strictement positif, 0 si le nombre est nul, et -1 si le nombre est strictement négatif :

Notation alternative[modifier | modifier le code]

La fonction signe peut également s’écrire :

On peut aussi la construire en résultat d'une limite, notamment en jouant avec les propriétés de certaines fonctions hyperboliques.

Graphe de la fonction tangente hyperbolique

En prenant (symétrique sur l'axe y) comme fonction de substitution pour , annulant sa propriété de croissance exponentielle en multipliant son inverse par et retranchant au résultat on obtient une fonction similaire à la fonction signe, passant par (figure ci à droite).

En analysant les limites de cette fonction en , et respectivement , et on en déduit la relation suivante:

De façon analogue on peut déduire des relations similaires avec . Ces définitions de la fonction signe sont intéressantes car elles ne posent pas de condition sur la valeur de .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa valeur absolue et de son signe :

La fonction signe peut également être liée à la fonction de Heaviside :

Continuité

Elle présente une discontinuité en 0, à la fois à gauche (puisque ) et à droite (puisque ).

Primitive

La fonction signe peut être vue comme la dérivée en tout réel différent de 0 de la fonction valeur absolue :

Voir aussi[modifier | modifier le code]