Loi Irwin-Hall

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loi Irwin-Hall
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue[1] sur .

Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur

Définition[modifier | modifier le code]

La loi Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur  :

Sa densité de probabilité est donnée par

est la fonction signe :

Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré sur les nœuds . Plus précisément, pour , la densité est

où les coefficients sont obtenus par la relation de récurrence en

L'espérance et la variance valent respectivement et .

Cas spéciaux[modifier | modifier le code]

  • Pour , suit une loi triangulaire:
  • Pour ,
  • Pour ,
  • Pour ,

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Balakrishnan, N.L. Jonhson et Kotz, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley, , 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0), section 26.9
  • Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 240–245.
  • Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 225–239.