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Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que xG + yG = zG.
Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.
Listes de nombres premiers de Sophie Germain
Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :
Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme Gi inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté Si = 2Gi + 1 dans la case immédiatement au-dessous.
Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 127
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Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
- A1 - 25 soit 25 % de nombres premiersp parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à :
10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99.
7 soit 7 % de nombres premiers sûrs S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99.
- A2 - 46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à :
15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199.
10 soit 5 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B
- B1 - 31 soit 24 % de nombres premiersp parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à :
11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127.
8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127.
- B2 - 54 soit 21 % de nombres premiersp parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à :
18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255[n 3].
11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.
↑ a et bLe nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
↑ a et bLe nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
↑Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G17 = 239 et G18 = 251.
Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 1 023
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Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.
- A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiersp parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à :
37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999.
25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999.
- A2 - 303 soit 15,2 % de nombres premiersp parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à :
? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
Totaux et ratios B
- B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiersp parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à :
39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023.
26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023.
- B2 - 309 soit 15,1 % de nombres premiersp parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à :
? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.
39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.
Des premières relations élémentaires entre nombres de Sophie Germain
En excluant les premiers nombres de Sophie Germain, tous les nombres de Sophie Germain sont de la forme 11+30n ou 23+30n ou 29+30n où n est un entier. Ceci résulte de l'étude du groupe des unités de Z/30Z. Ce type de relation, qu'on peut généraliser, est utile pour limiter l'étude des cas possibles dans le cadre d'une recherche des nombres de Sophie Germain par des ordinateurs, par exemple.
Quantité de nombres premiers de Sophie Germain
Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2C2n / (lnn)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190 ci-dessus. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.
Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.
Exemple d'application
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Soit un nombre premier de la forme . Alors est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne est un nombre composé dont est un diviseur[1]. Ce théorème dû à Euler[1] peut être utilisé comme test de primalité[1]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent est divisible par 167 et n'est donc pas premier.
↑ ab et cG. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.