Fonction exponentielle

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Courbe représentative de la fonction x \mapsto \mathrm e^x
Fonction exponentielle
Représentation \mathrm e^x
Réciproque \ln x \,
Dérivée \mathrm e^x
Primitive \mathrm e^x + C

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.

On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle

 \exp(x) = \mathrm e^x

La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a.

On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière.

C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme f(x) = Aeλx.

Fonction exponentielle réelle[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (dérivée égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit), ou par son développement en série.

Par une équation différentielle[modifier | modifier le code]

Courbe d'équation y = exp(x) et quelques sous-tangentes

Définition —  On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :

 f'=f \qquad f(0) = 1

Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de exp. La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel x de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse x avec l'axe des x, est constante et vaut 1.

À partir de la fonction logarithme népérien[modifier | modifier le code]

Définition — La fonction exp, de ℝ dans ℝ*+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, elle définit une bijection de ℝ*+ sur ℝ. Sa réciproque est une fonction f définie sur ℝ vérifiant f(0) = 1 car ln(1) = 0. La fonction ln étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout x,

 f'(x)=\frac1{\ln'(f(x))}=f(x).

Caractérisation algébrique[modifier | modifier le code]

La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l'on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur a en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base a. On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base e.

Définition — La fonction exp est l'unique fonction continue de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle

\forall u,v\in\R,~f(u+v)=f(u)f(v)

et prenant la valeur e en 1.

On détermine exp(x) sur les entiers puis sur les rationnels puis sur les irrationnels par continuité. On démontre à partir de cette définition (voir l'article détaillé) que la fonction exp est non seulement continue mais dérivable et égale à sa propre dérivée. On retrouve ainsi la définition ci-dessus de l'exponentielle par une équation différentielle.

On s'inspire de l'égalité \exp(p/q)=\mathrm e^{p/q} pour tous entiers q > 0 et p pour introduire une nouvelle notation pour la fonction exp :  \exp(x)=\mathrm e^x\, pour tout réel x.

Toutes les fonctions exponentielles de base a s'expriment à l'aide de la fonction exp et de la fonction logarithme népérien :

\exp_a(x)=a^x=\mathrm e^{x\ln(a)}.~

Par une série[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle et son approximation autour de zéro par les premiers termes de la série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore x ↦ ex comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!},

n! est la factorielle de n.

On en déduit l'un des nombreux développements en fraction continue généralisée de la fonction exponentielle :

{\rm e}^x=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{x\mid}{\mid1+x}-\frac{x\mid}{\mid2+x}-\frac{2x\mid}{\mid3+x}-\frac{3x\mid}{\mid4+x}-\frac{4x\mid}{\mid5+x}-\cdots.

Une analyse détaillée d'expressions de cette nature est proposée dans l'article « Approximant de Padé de la fonction exponentielle ».

Étude de la fonction exponentielle[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans \R

La fonction exp prend en 1 une valeur notée e, qui vaut environ 2,718 et est un nombre transcendant.

La première des quatre définitions équivalentes ci-dessus montre que la fonction exp est de classe C. La dernière montre qu'elle est même analytique.

La deuxième montre que la fonction exp est strictement croissante de ℝ dans ℝ*+ et que \lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0\text{ et }\lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty.

Plus précisément — voir l'article Indétermination de la forme ∞/∞ — la fonction exp tend vers + ∞ quand sa variable tend vers + ∞ plus rapidement que toute fonction polynomiale, c'est-à-dire que

\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=+\infty

quel que soit l'entier naturel n. Par changement de variable, on en déduit

\lim_{x\to -\infty}x^n\exp(x)=0.

La croissance de exp peut aussi se déduire de la positivité de sa dérivée exp. De même, puisque sa dérivée seconde exp est positive, la fonction exp est convexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle, de ℝ sur ℝ*+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : pour tous réels y > 0 et x,

ln(ex) = x, eln(y) = y et ex = yx = ln(y).

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels x et y, ex + y = exey.

On en déduit que pour tout réel x et tout rationnel b, (ex)b = ebx.

Pour b irrationnel, cette équation peut tenir lieu de définition, c'est-à-dire que l'une des façons de définir l'exponentielle de base a est de poser, pour tous réels a > 0 et b : ab = ebln(a).

Généralisation à d'autres ensembles[modifier | modifier le code]

Dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Exponentielle complexe.

Définitions[modifier | modifier le code]

On peut définir la fonction exp complexe de deux façons :

  1. En utilisant la propriété :\exp(\mathrm ix) = \cos(x)+\mathrm i\sin(x),
    on écrit
    \exp(a+\mathrm i b) = \exp(a)(\cos(b) +\mathrm i \sin(b))
    a et b sont des nombres réels.
    La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques.
  2. En utilisant le développement en série de l'exponentielle, on étend celle-ci au plan complexe :\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}.

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes :

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries, selon le mode de définition de l'exponentielle.

C'est une fonction périodique, de période le nombre imaginaire pur 2iπ. Cette périodicité empêche la création d'une réciproque, c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme z ↦ ln(z), appelée logarithme complexe.

L'exponentielle plus générale : pour tous nombres complexes z et w, z^w = \exp(w\ln(z)).

est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Représentations[modifier | modifier le code]

Si \scriptstyle w = x+iy on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions \scriptstyle w \mapsto \Re(\exp (w)), \scriptstyle w \mapsto \Im(\exp (w)), \scriptstyle w \mapsto |\exp (w)| et \scriptstyle w \mapsto \arg(\exp (w))

Pour d'autres représentations de l'exponentielle à base e, se référer à l'article en anglais de wikimedia commons.

Fonctions exponentielles dans d'autres espaces[modifier | modifier le code]

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de définir l'exponentielle d'une matrice carrée M comme

 \exp(M)=\mathrm e^M=\sum_{k=0}^\infty{ 1\over k!}M^k.

Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles ordinaires.

Article détaillé : exponentielle d'une matrice.

La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de ℝ vers tout groupe topologique. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu ℝ → G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.

Article détaillé : sous-groupe à un paramètre.

La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes

Article détaillé : application exponentielle.

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de la définir sur des algèbres de Banach (voir l'article Calcul fonctionnel).

Applications[modifier | modifier le code]

Équation différentielle linéaire[modifier | modifier le code]

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont proportionnelles à leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

\frac {\mathrm d}{\mathrm d x}\lambda \mathrm e^{ax} = a \lambda \mathrm e^{ax}

ou plus exactement, la fonction \varphi : x\mapsto \lambda \mathrm e^{ax} est l'unique solution de l'équation fonctionnelle

\varphi'  = a \varphi et \varphi(0) = \lambda

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

y' = y

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction trigonométrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction trigonométrique.

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition \exp({\rm i}z) = \cos z+{\rm i}\sin z) nous donnent un lien direct entre les fonctions cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

\cos x ={{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x} \over 2}
\sin x ={{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x} \over 2{\rm i}}

Ces formules permettent de retrouver la plupart des identités trigonométriques, en particulier

\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ~
\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ~

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile de linéariser les expressions de la forme cospx sinqx : voir le § « Linéarisation » de l'article sur les identités trigonométriques.

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique[modifier | modifier le code]

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

\operatorname{ch} x ={{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x} \over 2}
\operatorname{sh} x ={{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x} \over 2}

Théorie de Fourier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie de Fourier.

Les fonctions exponentielles t \mapsto{\rm e}^{{\rm i}kt}t est un réel sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration détaillée, voir par exemple [PDF]celle de Gilles Constantini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]