Théorème de Lindemann-Weierstrass

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En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors e^{\alpha_1}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur Q. En d'autres termes, l'extension \Q(e^{\alpha_1}, \cdots , e^{\alpha_n})\, de \Q\, est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_0, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^{\alpha_0}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, c’est-à-dire :

a_0e^{\alpha_0} + a_1e^{\alpha_1} + ... + a_ne^{\alpha_n}\neq 0

pour tous nombres a_i algébriques non tous nuls.

Ce théorème fut démontré en 1885 par Karl Weierstrass, qui généralisa ainsi le théorème d'Hermite-Lindemann prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Le cas n=1[modifier | modifier le code]

Lindemann avait prouvé que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. (Ce théorème implique en particulier que e et pi sont transcendants.) C'est le cas n=1 du théorème prouvé par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

  • a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
  • ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, nous pouvons argumenter que

  • a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
  • ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.

Conjecture p-adique[modifier | modifier le code]

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que |\alpha_i|_p < 1/p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.