Constante de Catalan
En mathématiques, la constante de Catalan, portant le nom du mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par : où est la fonction bêta de Dirichlet.
Ses décimales sont répertoriées par la suite A006752 de l'OEIS.
On ne sait pas si la constante est rationnelle ou irrationnelle.
Autres expressions[modifier | modifier le code]
La constante de Catalan est aussi égale à :
Expressions intégrales[modifier | modifier le code]
- où est l'intégrale elliptique complète de première espèce
- où est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce
Développements en série[modifier | modifier le code]
Cette constante peut aussi être définie par la fonction de Clausen : , ce qui nous donne les formules suivantes :
- ,
- ,
- .
Puisque est l'image de 2 par la fonction bêta, nous avons un lien avec le polylogarithme : , d'où : .
Utilisation[modifier | modifier le code]
K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma : , .
Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, et la constante de Catalan.
K apparaît aussi dans la loi sécante hyperbolique.
Séries convergeant rapidement[modifier | modifier le code]
Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc appropriées pour le calcul numérique :
et .
Les calculs théoriques pour cette série ont été donnés par Broadhurst[1].
Décimales connues[modifier | modifier le code]
Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques[2].
Date | Décimales | Calculé par |
---|---|---|
2009 | 31 026 000 000 | R. Shan et A. J. Yee |
Octobre 2006 | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo[3] |
2002 | 201 000 000 | Xavier Gourdon et Pascal Sebah |
2001 | 100 000 500 | Xavier Gourdon et Pascal Sebah |
4 janvier 1998 | 12 500 000 | Xavier Gourdon |
1997 | 3 379 957 | Patrick Demichel |
1996 | 1 500 000 | Thomas Papanikolaou |
29 septembre 1996 | 300 000 | Thomas Papanikolaou |
14 août 1996 | 100 000 | Greg J. Fee et Simon Plouffe |
1996 | 50 000 | Greg J. Fee |
1990 | 20 000 | Greg J. Fee |
1913 | 32 | James W. L. Glaisher |
1877 | 20 | James W. L. Glaisher |
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998.
- (en) Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.
- (en) Value of Catalan constant sur le site de Shigeru Kondo.
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- E. Catalan, « Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies : Extrait par l'auteur », CRAS, vol. 59, , p. 618-620 (lire en ligne)
- (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, New York, Springer, , 596 p. (ISBN 978-0-387-49893-5, lire en ligne), p. 127
- François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)
- (en) H. M. Srivastava et Choi Junesang, Series Associated With the Zeta and Related Functions, KluwerAcademic, , 388 p. (ISBN 978-0-7923-7054-3, lire en ligne), p. 30
- (en) D.M. Bradley, Representations of Catalan's constant, KluwerAcademic, (lire en ligne)
Lien externe[modifier | modifier le code]
(en) Eric W. Weisstein, « Catalan's Constant », sur MathWorld