Constante de Catalan

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En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :

K = \beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\simeq 0,91596559417721901505...,

où β est la fonction beta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle et on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.

Elle est également égale à :

  • {1 \over 2} \int_{0}^{1} F\, dk avec F = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\, d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}
  • \int_0^1 {\arctan(u) \over u} \, du
  • - \int_0^1 {\ln(u) \over 1+u^2} \, du
  • - \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan(u)) \, du}
  • \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} dx dy
  • \int_{0}^{\pi/4} \frac{u}{\sin(u) \cos(u)} du
  • \frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx

Où K(x) est l'integrale elliptique complète de la première sorte.

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen:

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K= \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n^2}

Ce qui nous donne les formules suivantes:

  • - \int_0^\frac{\pi}{2} \ln|2 \sin(t/2)| \,dt.
  • \frac{\pi}{2}\left[1-\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]
  • \frac{\pi}{2}\left[3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right) -4 \ln \left( \frac{5}{3}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]

Puisque K est la fonction beta de 2, nous avons donc un lien avec le polylogarithme:

\operatorname{Li}_2(i) = -\frac{7}{12}\pi^2 + iK

Ou aussi:

K= \Im (\operatorname{Li}_2(i)).


Sommaire

[modifier] Utilisation

K apparait en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma:

\psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K
\psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8K

Simon Plouffe donne une quantité infinie d'identités entre la fonction trigamma, π2 et la constante de Catalan.

Il apparaît aussi dans la distribution sécante hyperbolique.

[modifier] Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique:

K = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) -
2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right)

et

K = \frac{\pi}{8} \ln \left(\sqrt{3} + 2 \right) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Les calculs théoriques pour une telle série sont données par Broadhurst.[1]

[modifier] Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques..[2]

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan
Date Décimales Calculé par
Octobre 2006 5,000,000,000 Shigeru Kondo[3]
2002 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
4 janvier 1998 12,500,000 Xavier Gourdon
1997 3,379,957 Patrick Demichel
1996 1,500,000 Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996 300,000 Thomas Papanikolaou
14 août 1996 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996 50,000 Greg J. Fee
1990 20,000 Greg J. Fee
1913 32 James W. L. Glaisher
1877 20 James W. L. Glaisher

[modifier] Notes et références

  1. ↑ D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
  2. ↑ Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
  3. ↑ Shigeru Kondo's website

[modifier] Lien interne

[modifier] Bibliographie

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