Constante de Gelfond

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En mathématiques, la constante de Gelfond, nommée en l'honneur d'Aleksandr Gelfond, est

e^\pi  \,

c’est-à-dire, e à la puissance de \pi\,. Comme e et π, cette constante est un nombre transcendant. Ceci peut être démontré par le théorème de Gelfond-Schneider et en notant le fait que

 e^\pi\;  = \;    (e^{i\pi})^{-i}   \;  =   \;(-1)^{-i}

i est l'unité imaginaire. Puisque - i est algébrique, mais certainement non rationnel, e^{\pi}\, est transcendant. La constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est  2^{\sqrt{2}}\,, connue sous le nom constante de Gelfond-Schneider.

Valeur numérique[modifier | modifier le code]

Sous forme décimale, la constante est égale à

e^\pi  \approx 23,140692632...  \,

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}}}

k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Après N itérations, l'approximation est donnée par

\left(\frac{k_N}{4}\right)^{\frac{-1}{2^N}}.

Développement décimal remarquable[modifier | modifier le code]

Le nombre

e^\pi-\pi \approx 19,99909998... \,

est un nombre presque entier.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]