Irrationnel quadratique
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Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(√d), où d est un entier positif sans facteur carré.
Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange).
Racine carrée d'un entier non carré[modifier | modifier le code]
Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant √2). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est même pas le carré d'un rationnel ou encore — par contraposition — que si un entier d est carré d'un rationnel, alors √d est un entier. On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide[1]. Les preuves usuelles font appel au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique mais d'autres sont plus astucieuses, comme celle de Richard Dedekind[2] ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann[3],[4] :
Soit d un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme p/q avec q le plus petit possible (c'est-à-dire que q est le plus petit entier > 0 dont le produit par √d est entier), et soit n la partie entière de √d. Alors, l'entier r := p – nq vérifie : 0 ≤ r < q et r√d est entier. Par minimalité de q, r = 0 donc √d = n.
Plus généralement, tout entier algébrique non entier est irrationnel.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.
- (en) « Square root of 2 is irrational », sur Cut The Knot.
- (en) Attila Máté, « Irrationality of square roots », sur Brooklyn College.
- (en) Harley Flanders, « Math bite: irrationality of √m », Math. Mag., vol. 72, , p. 235 (lire en ligne).
