Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble sur un corps commutatif décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient $L$ un corps commutatif, $S$ un sous-ensemble de $L$ et $K$ un sous-corps de $L$. On dit que $S$ est algébriquement indépendant sur $K$ si les éléments de $S$ ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans $K$.

En d'autres termes, pour tout suite finie $(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)$ d'éléments distincts de $S$ et tout polynôme non-trivial $P(x_1, \ldots ,x_n)$ à coefficients dans $K$ on a

$P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0$.

En particulier, un ensemble à un seul élément $\{ \alpha \}$ est algébriquement indépendant sur $K$ si et seulement si $\alpha$ est transcendant sur $K$.

Exemples

Le sous-ensemble $\{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \}$ du corps des nombres réels $\mathbb R$ n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels $\mathbb Q$ puisque le polynôme $P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1$ n'est pas trivial et à coefficients dans $\mathbb Q$ et $P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0$.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur $\mathbb Q$.

On ne sait pas si l'ensemble $\{ \pi, e \}$ est algébriquement indépendant sur $\mathbb Q$. Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que $\{ \pi, e^\pi, \Gamma(1/4) \}$ l'est.