Indépendance algébrique

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En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (s1, … , sn) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(X1, … , Xn) à coefficients dans K on a P(s1, … , sn) ≠ 0.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K.

Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K.

Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.

En particulier, si S est algébriquement libre sur K alors tous ses éléments sont transcendants sur K, mais la réciproque est clairement fausse : par exemple le sous-ensemble {π, 1/π} du corps ℝ des nombres réels n'est pas algébriquement libre sur le corps ℚ des nombres rationnels, puisque le polynôme non nul à coefficient rationnels P(X, Y) = XY – 1 vérifie P(π, 1/π) = 0.

Dans le corps de fractions rationnelles K(X1, … , Xn), les indéterminées X1, … , Xn sont algébriquement indépendantes sur K ; les polynômes symétriques élémentaires le sont aussi.

Une partie K-algébriquement libre maximale de L s'appelle une base de transcendance de L sur K, et le cardinal d'une telle base est appelé le degré de transcendance de l'extension.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement libres sur ℚ.

On ne sait pas si l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ (on ne sait même pas si π + e est irrationnel).

Nesterenko (en) a prouvé en 1996 un théorème dont il résulte par exemple que {π, eπ, Γ(1/4)}, {π, eπ3, Γ(1/3)} et {π, eπd} pour tout entier d > 0, sont algébriquement libres sur ℚ[1],[2]. (On savait déjà que {π, Γ(1/4)} et {π, Γ(1/3)} sont algébriquement libres[3], et donc aussi {π, Γ(1/6)}, puisqu'on déduit des relations fonctionnelles sur la fonction Gamma que Γ(1/6) = Γ(1/3)2 2–1/3 (3/π)1/2.)

On sait peu de choses sur les valeurs aux entiers impairs de la fonction zêta de Riemann, mais il est conjecturé[2],[4],[5] que les nombres π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), … sont algébriquement indépendants sur ℚ.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Algebraic independence » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Yuri V. Nesterenko et Patrice Philippon, Introduction to Algebraic Independence Theory, Springer,‎ 2001 (ISBN 978-3-54041496-4, lire en ligne), p. 27-29
  2. a et b (en) M. Waldschmidt, « Transcendence of Periods: The State of the Art », Pure and Applied Mathematics Quarterly, vol. 2, no 2,‎ 2006, p. 435-463 (lire en ligne)
  3. (en) G. V. Chudnovsky, « Algebraic independence of constants connected with the exponential and the elliptic functions », Dokl. Akad. Nauk Ukrain. SSR Ser. A, vol. 8,‎ 1976, p. 698-701, 767
  4. Pierre Cartier, « Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents », Séminaire Bourbaki, vol. 43, no 885,‎ 2000-2001 (lire en ligne), cf. Conclusion
  5. Stéphane Fischler, « Irrationalité de valeurs de zêta », Séminaire Bourbaki, vol. 44, no 910,‎ novembre 2002 (lire en ligne)