Sinus (mathématiques)

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Représentation graphique d'une période de la fonction sinus.

Le sinus, en mathématiques, est une fonction d'un angle. Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse.

Le sinus est habituellement cité en premier parmi les fonctions trigonométriques.

Les fonctions trigonométriques sont habituellement définies comme le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle, et peuvent être définies de manière équivalente comme la longueur de différents segments sur le cercle unité. Les définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme des solutions d'équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.

La fonction sinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.

L'origine de la fonction sinus peut être retracée aux fonctions jyā et koṭi-jyā (en), utilisées en astronomie indienne pendant la période Gupta (Surya Siddhanta), via des traductions du sanskrit à l'arabe et de l'arabe au latin[1].

Définitions[modifier | modifier le code]

Définitions dans un triangle rectangle[modifier | modifier le code]

Pour définir le sinus d'un angle \alpha, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle \alpha.

Sinus = Côté opposé / Hypoténuse

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

  • l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle \alpha et le côté le plus long du triangle,
  • le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle \alpha qui nous intéresse,
  • le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle \alpha, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de l'hypoténuse,
o : la longueur du côté opposé,
\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{o}{h}.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle \alpha, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

Définitions à partir du cercle unité[modifier | modifier le code]

\sin(\alpha) est égal a la longueur du segment indiqué en rouge.

En trigonométrie, le cercle unité est le cercle de rayon un centré à l'origine (0, 0) d'un système de coordonnées cartésiennes.

Considérons l'intersection entre une droite passant par l'origine, faisant un angle \alpha avec la moitié positive de l'axe x, et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à \sin(\alpha).

Animation montrant le graphique de y = sin(x) (où x est l'angle en radians) sur le cercle unité

Définitions à partir des séries entières[modifier | modifier le code]

Ici, et généralement en analyse, il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir :

\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!}  + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}  {( - 1)^n } \frac{{x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}}

Cette définition est équivalente à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie des séries de Taylor. Cette définition est souvent utilisée comme point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre π puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. La définition utilisant les séries a l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger la fonction sinus en une fonction analytique dans tout le plan complexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Réciproque[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction arc sinus

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives (ni même injectives, puisqu'elles sont périodiques) ; elles n'admettent donc pas de bijections réciproques. En les restreignant à certains intervalles de départ et d'arrivée, les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections. L'application réciproque arcsin est habituellement définie par :

pour tous réels x et y :

y = \arcsin (x)

si et seulement si

\sin (y) = x\text{ et }-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}.

La fonction arcsin est donc une bijection de [–1, 1] sur [–π/2, π/2] et vérifie

\forall x\in[-1,1]\quad\sin(\arcsin x)=x

et

\forall y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\quad\arcsin(\sin y)=y.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}\,\sin(x)=\cos(x).

Intégrale[modifier | modifier le code]

Une primitive de sin est –cos, ce qui s'écrit usuellement : \int\sin x~{\rm d}x=-\cos x. Autrement dit : pour tout x0,

\int_{x_0}^x\sin t~{\rm d}t=-\cos x+C,\text{ où }C=\cos x_0

est la « constante d'intégration ».

Limites[modifier | modifier le code]

Article connexe : Sinus cardinal.
\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1

\lim_{\theta \to +\infty} {\sin(\theta)\over \theta} = 0

(Voir le § « Exemple » de l'article sur le théorème des gendarmes.)

Valeurs remarquables[modifier | modifier le code]

sin(x)
Quelques angles communs (θ) sur le cercle unité. Les angles sont indiqués en degrés et en radians, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (cos θ, sin θ).
x (angle) sin x
Degrés Radians Grades Exacte Décimale
0 0g 0 0
180° \pi 200g
15° \frac{\pi}{12} 16 2/3g \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0,258819045102521
165° \frac{11\pi}{12} 183 1/3g
30° \frac{\pi}{6} 33 1/3g \frac{1}{2} 0,5
150° \frac{5\pi}{6} 166 2/3g
45° \frac{\pi}{4} 50g \sqrt{\frac{1}{2}} 0,707106781186548
135° \frac{3\pi}4 150g
60° \frac{\pi}{3} 66 2/3g \frac{\sqrt{3}}{2} 0,866025403784439
120° \frac{2\pi}3 133 1/3g
75° \frac{5\pi}{12} 83 1/3g \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 0,965925826289068
105° \frac{7\pi}{12} 116 2/3g
90° \frac{\pi}{2} 100g 1 1

Relation avec les nombres complexes[modifier | modifier le code]

Une illustration du plan complexe. Les nombres imaginaires se trouvent sur l'axe des ordonnées.

Le sinus est utilisé pour déterminer la partie imaginaire d'un nombre complexe z donné en coordonnées polaires, par son module r et son argument φ :

z=r(\cos\varphi+{\rm i}\sin\varphi)i désigne l'unité imaginaire.

La partie imaginaire de z est {\rm Im}(z)=r\sin\varphi.

Bien qu'acceptant aussi des nombres complexes, le paramètre donné à la fonction sinus est généralement un nombre réel.

Sinus avec un argument complexe[modifier | modifier le code]

Coloration de domaine (en) de sin(z) quand les parties réelle et imaginaire de z sont comprises dans [–π, π]. La luminosité indique le module, la saturation représente[Comment ?] la magnitude imaginaire et réelle[Quoi ?].
sin(z) comme un champ vectoriel

La définition de la fonction sinus comme série entière s'étend telle quelle à des arguments complexes z :

\begin{align}
\sin z & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{{\rm e}^{{\rm i}z}-{\rm e}^{-{\rm i}z}}{2{\rm i}}\, \\
& = \frac{\sinh \left({\rm i}z\right) }{\rm i}
\end{align}

C'est une fonction entière. Aussi, pour x réel,

\sin x = \operatorname{Im}(e^{{\rm i}x}) \,

et pour iy imaginaire pur,

 \sin{\rm i}y ={\rm i}\sinh y.

Il est aussi parfois utile d'exprimer la fonction sinus complexe en termes des parties réelle et imaginaire de son argument :

\begin{align}
\sin (x+{\rm i}y) &= \sin x \cosh y +{\rm i}\cos x \sinh y \\
&= \sin x \cos{\rm i}y + \cos x \sin{\rm i}y
\end{align}

Fraction partielle et développement en série du sinus complexe[modifier | modifier le code]

Utilisant la technique de développement en éléments simples (en) d'une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :

\frac\pi{\sin \pi z}=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{z-n}=\frac1z-2z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2-z^2}.

On trouve de même

\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}=\sum_{-\infty}^\infty\frac1{(z-n)^2}.

Utilisant la technique de développement du produit, on peut en tirer

\sin \pi z = \pi z \prod_{n = 1}^\infty\left( 1- \frac{z^2}{n^2}\right).

Utilisation du sinus complexe[modifier | modifier le code]

sin z se trouve dans l'équation fonctionnelle pour la fonction Gamma,

\Gamma(s)\Gamma(1-s)={\pi\over\sin\pi s},

laquelle se trouve à son tour dans l'équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Riemann,

\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\pi s/2)\zeta(1-s).

Comme toute fonction holomorphe, sin z est harmonique, c'est-à-dire solution de l'équation de Laplace à deux dimensions :

\Delta u(x,y) = 0.

Graphiques complexes[modifier | modifier le code]

Fonction sinus dans le plan complexe
Complex sin real 01 Pengo.svg
Complex sin imag 01 Pengo.svg
Complex sin abs 01 Pengo.svg
partie réelle partie imaginaire module


Sin-1 dans le plan complexe
Complex arcsin real 01 Pengo.svg
Complex arcsin imag 01 Pengo.svg
Complex arcsin abs 01 Pengo.svg
partie réelle partie imaginaire module

Note et références[modifier | modifier le code]

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  1. (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons,‎ 1991, 2e éd. (ISBN 0-471-54397-7), p. 210