Constante de Prouhet-Thue-Morse

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En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse, nommée d'après Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, est le nombre \tau\, dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. En d'autres termes,

  \tau = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{t_i}{2^{i+1}} = 0,412~454~033~640 \ldots

t_i est le ie terme de la suite de Prouhet-Thue-Morse.

La série génératrice pour t_i est donnée par

 \tau(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{t_i} \, x^i  = \frac{1}{1-x} - 2 \sum_{i=0}^{\infty} t_i \, x^i

et peut être exprimée par

 \tau(x) = \prod_{n=0}^{\infty} ( 1 - x^{2^n} ).

Ceci est un produit de polynômes de Frobenius (en), et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.

Kurt Mahler a montré que ce nombre est transcendant en 1929. Comme la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite automatique, ce fait résulte maintenant du théorème général que tout nombre défini par une suite automatique est soit rationnel, soit transcendant.

Applications[modifier | modifier le code]

La constante de Prouhet-Thue-Morse apparaît comme l'angle du rayon de Douady-Hubbard (en) à la fin de la suite des bourgeons à l'ouest de l'ensemble de Mandelbrot. Ceci peut être facilement compris en raison de la nature du doublement de période dans l'ensemble de Mandelbrot[1].[pas clair]

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prouhet–Thue–Morse constant » (voir la liste des auteurs)

  1. Parameter Ray Atlas (2000) fournit un lien vers l'ensemble de Mandelbrot.

Liens externes[modifier | modifier le code]