Partition (mathématiques)

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Page d'aide sur l'homonymie En particulier en mathématiques, ne pas confondre avec la notion de partition d'un entier, ni celle de partition de l'unité.

Une partition d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X deux à deux disjoints et qui forment un recouvrement de X.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un ensemble X quelconque. Un ensemble P de sous-ensembles de X est une partition de X si :

  • Aucun élément de P n'est vide  ;
  • L'union des éléments de P est égale à X ;
  • Les éléments de P sont deux à deux disjoints.

Les éléments de P sont appelés les parties de la partition. Attention car cette dénomination prête à confusion : il ne faut pas confondre les parties avec les éléments de P : les parties de P sont les sous-ensembles de P, alors que les "parties de la partition P" nommées ci-dessus sont les éléments de P.


En notation mathématique en posant P = \{P_1, P_2 , ... P_n\} avec P_i \subset X les conditions ci-dessus peuvent s'écrire :

  • P_i \neq \varnothing
  • \bigcup P_i = X
  • P_i \cap P_j =\varnothing \text{ si } i \neq j

Exemples[modifier | modifier le code]

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :

  • { {1}, {2}, {3} },
  • { {1, 2}, {3} },
  • { {1, 3}, {2} },
  • { {1}, {2, 3} } et
  • { {1, 2, 3} }.

Remarquons que

  • { {}, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide, noté {} ou \varnothing.
  • { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie.
  • { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2}; c'est une partition de {1, 2}.

Dans le cas où toutes les parties de la partition ont même cardinal, on retrouve le lemme des bergers.


On pourrait penser que la première condition de la définition implique que l'ensemble vide n'admet pas de partitions. Il n'en est rien : la partition vide convient (et c'est la seule), puisque n'ayant aucun élément, tous ses éléments ont bien toutes les propriétés voulues, et que leur union est évidemment l'ensemble vide lui-même.

Partitions et relations d'équivalence[modifier | modifier le code]

Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble X, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de X. Inversement, si une partition P de X est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur X notée ~, par x ~ y si et seulement s’il existe une partie de P qui contient à la fois x et y. Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.

Ordre partiel sur les partitions : le treillis des partitions[modifier | modifier le code]

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les parties de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet où la borne inférieure est la partition grossière en un seul sous-ensemble et la borne supérieure la partition en singletons.

Nombre de partitions d'un ensemble fini[modifier | modifier le code]

  • Le nombre de Bell Bn est le nombre de partitions différentes d'un ensemble à n éléments. Les premiers nombres de Bell sont B0=1, B1=1, B2=2, B3=5, B4=15, B5=52, B6=203. Le nombre de partitions en exactement k sous-ensembles est le nombre de Stirling (de seconde espèce) \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.

Les partitions par paire[modifier | modifier le code]

  • Le nombre de partitions par paires d'un ensemble à 2n éléments est égal à \frac{(2n) !}{2^n n !}
  • Une bijection d'un ensemble E sur un ensemble F transforme une partition de E par paire, en une partition de F par paire.
  • Tout ensemble infini admet au moins une partition par paire (si l'on suppose vrai l'axiome du choix).

Voir aussi[modifier | modifier le code]