Nombre irrationnel

Répartion des réels en irrationnels, rationnels, algébriques et transcendants

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\textstyle {\frac {a}{b}}$, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres √2 (voir des démonstrations de son irrationalité).

On appelle nombres algébriques les nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire inclut tous les nombres rationnels mais permet aussi d'exhiber de nombreux nombres irrationnels. Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. Les nombres π et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels.

Histoire

Comme le rapportent les Sulba Sutras (en), l'utilisation la plus ancienne des nombres irrationnels fut faite par les indiens entre 800 et 500 avant J.-C. Il était connu que la diagonale et l'un des côtés d'un carré sont incommensurables l'une à l'autre.

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré, propriété équivalente à l'irrationalité de √2. La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or. Elle reste encore l'objet d'un profond mystère. On admet généralement qu'elle est l'œuvre d'un Pythagoricien durant la première moitié du V^e siècle av. J.-C.. Cette découverte ouvrit probablement une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs. Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité. Cette légende indiquerait que la découverte est bien pythagoricienne et qu'elle faisait l'objet d'un tabou.

La première démonstration date d'avant -410 et porte probablement sur l'étude de √2. Plusieurs idées de démonstration sont imaginées, l'une d'elle reposant sur le principe du pair et de l'impair. Ce principe remontant au début du V^e siècle av. J.-C., la démonstration pourrait être ancienne. D'autres démonstrations sont imaginées, à l'aide d'une descente infinie ou encore d'un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues et dont une forme ancienne est héritée des mésopotamiens. Le livre X des Éléments d'Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.

Au XVI^e siècle, la communauté mathématique accueillit favorablement les nombres négatifs et les fractions. Au XVII^e siècle, les mathématiciens employèrent de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentaient déjà ces nombres avec la notation moderne.

Pendant les cent années suivantes furent introduits les nombres imaginaires qui devinrent un outil puissant forgé par Abraham de Moivre, et plus particulièrement aiguisé par Leonhard Euler.

Au XIX^e siècle, la théorie des nombres complexes fut complétée, l'existence des nombres transcendants fut montrée, ce qui amena à diviser les nombres irrationnels en deux catégories, celle des nombres algébriques et celle des nombres transcendants et ainsi à effectuer une étude scientifique d'un sujet presque resté en léthargie depuis Euclide, celui de la théorie des nombres irrationnels.

L'année 1872 vit la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève Kossak), de Heine (Crelle 74), de Cantor (Annalen 5), et de Richard Dedekind. Méray avait pris en 1869 les mêmes points de départ que Heine, mais la naissance de cette théorie est généralement rattachée à l'année 1872.

La méthode de Weierstrass fut complètement déterminée par Pincherle (en 1880), et celle de Dedekind reçut une importance supplémentaire par le travail ultérieur de l'auteur (en 1888) et par l'approbation plus récente de Paul Tannery (en 1894).

Weierstrass, Cantor, et Heine basèrent leurs théories sur les séries infinies, pendant que Dedekind fonda la sienne sur l'idée d'une coupure (Schnitt en allemand) dans le système des nombres rationnels, partageant les nombres rationnels en deux classes caractérisées par des propriétés différentes.

Ce travail fut complété plus tard par Weierstrass, Kronecker (Crelle 101) et Méray.

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (dues à Cataldi en 1613), furent prises en considération par Euler, et au début du XIX^e siècle, elles prirent de l'importance grâce aux écrits de Joseph Louis Lagrange. Dirichlet aussi travailla sur cette théorie, ainsi que beaucoup d'autres mathématiciens qui développèrent de multiples applications.

Lambert démontra en 1761 que π ne pouvait être rationnel, et que pour tout rationnel r non nul, e^r est irrationnel.

La démonstration de l'irrationalité de π par Lambert consiste à montrer que la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel, en l'approchant par une suite de rationnels vérifiant des propriétés particulières. Plus préoccupé à conjecturer la transcendance de π et e, il ne prend pas la peine de remarquer que sa méthode fournit même une démonstration de l'irrationalité de π².

Legendre le fait, introduisant au passage les fonctions de Bessel-Clifford (en).

L'existence de nombres transcendants a été établie pour la première fois par Liouville (entre 1844 et 1851). En 1873, Georg Cantor montra leur existence par une méthode différente, en démontrant (par un argument de cardinalité) que tout intervalle réel non vide et non réduit à un point contient des nombres transcendants. Charles Hermite (en 1873) fut le premier à démontrer la transcendance de e, et Ferdinand von Lindemann (en 1882), montra à partir des conclusions d'Hermite, la transcendance de π. La démonstration de Lindemann fut largement simplifiée par Weierstrass (en 1885), et encore davantage par David Hilbert (en 1893), pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan.

Exemples de nombres irrationnels, transcendants ou algébriques

Presque tous les nombres irrationnels sont transcendants et tous les nombres transcendants sont irrationnels.

Les nombres e^r et π^r pour tout rationnel r non nul sont transcendants.

La somme ou le produit d'un nombre irrationnel et d'un nombre rationnel non nul est un nombre irrationnel (mais ce n'est pas nécessairement le cas de la somme ou du produit de deux nombres irrationnels).

La somme ou le produit d'un nombre transcendant et d'un nombre algébrique non nul est un nombre transcendant (mais ce n'est pas nécessairement le cas de la somme ou du produit de deux nombres transcendants).

Les nombres s'écrivant sous forme de fractions finies sont rationnels. Mais ceux qui s'écrivent comme une fraction continue sont irrationnels.

Dès que deux entiers m, n > 1 n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers (ou encore : le même radical), le quotient ^{ln m}⁄_{ln n} est irrationnel. Par exemple : ^{ln 3}⁄_{ln 2}, ^{ln 15}⁄_{ln 10} et ^{ln 6}⁄_{ln 2} sont irrationnels.

Le théorème de Gelfond-Schneider permet alors d'en déduire que ces quotients ^{ln m}⁄_{ln n} sont même transcendants (encore sous l'hypothèse que m, n > 1 sont deux entiers n'ayant pas le même ensemble de facteurs premiers).

Un autre moyen de construire des nombres irrationnels considère les nombres algébriques irrationnels, c'est-à-dire des racines de polynômes à coefficients entiers. Considérons une équation algébrique de la forme

$p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=0$

où les coefficients $a_{i}$ sont entiers.

Supposons qu'il existe un réel $x$ tel que $p(x)=0$ (par exemple si $n$ est impair et $a_{n}$ est non nul, un tel $x$ existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires).

Les seules racines rationnelles de cette équation algébrique sont de la forme $r/s$ d'une fraction irréductible où $r$ est diviseur de $a_{0}$ et $s$ un diviseur de $a_{n}$ ; il y a seulement un nombre fini de valeurs possibles que l'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de $p$, $x$ doit être irrationnel. Par exemple, si nous avons $(X^{3}-1)^{2}=2$ alors $X^{6}-2X^{3}-1=0$ et le polynôme $X^{6}-2X^{3}-1$ n'a pas de racine rationnelle (les seules valeurs possibles étant ±1).

Parce que les nombres algébriques forment un corps commutatif, beaucoup de nombres irrationnels peuvent être construits en combinant les nombres algébriques et les nombres transcendants. Par exemple 3π + 2, π + √2 et e√2 sont irrationnels et même transcendants.

Approximation par les rationnels

• Pour tout nombre irrationnel x, il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 1 et |x – p/q| < 1/q². On peut le déduire du développement de x en fraction continue mais aussi, moins constructivement, par récurrence en utilisant la propriété suivante (qui se déduit par exemple du principe des tiroirs de Dirichlet) : pour tous réels Q ≥ 1 et x, il existe des entiers p, q tels que 1 ≤ q ≤ Q et |x – p/q| < 1/(qQ).
• On a d'autre part le critère d'irrationalité suivant : s'il existe un réel μ > 1 et une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ, alors x est irrationnel. En effet, soit r = a/b un rationnel (avec b > 0 et a entiers). Alors, pour tous entiers q > 0 et p on a :$0<\left|r-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}\Rightarrow {\frac {1}{q^{\mu }}}>\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|aq-bp|}{bq}}\geq {\frac {1}{bq}}\Rightarrow q^{\mu -1}\leq b$donc il n'y a qu'un nombre fini de valeurs possibles pour q et, puisque pour chacune de ces valeurs l'ensemble des solutions p est borné, qu'un nombre fini de couples (p, q) solutions pour l'approximation de r, ce qui prouve qu'aucun rationnel r n'est égal à x.
• On déduit des deux points précédents que la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 et que celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2.
• Divers théorèmes permettent de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une série dont le terme général est rationnel et qui converge suffisamment rapidement.

Développements décimaux

Le développement décimal d'un nombre irrationnel ne se répète jamais et ne se termine jamais. Le développement décimal d'un nombre rationnel se finit ou se répète.

Pour le démontrer, considérons un nombre rationnel : supposons que l'on divise un entier n par un autre, m (m étant non nul) ; alors lorsque l'algorithme de division euclidienne enseigné à l'école primaire est utilisé pour diviser n par m, il ne peut donner que m restes différents. Si 0 n'apparaît jamais comme reste, alors l'algorithme ne peut effectuer plus de m – 1 étapes sans redonner un même reste. Après cela, si un reste réapparaît, alors le développement décimal se répète.

Inversement, supposons qu'il y ait dans le développement d'un nombre des décimales récurrentes ; on peut alors démontrer que le nombre est une fraction de deux entiers. Par exemple :

$A=0,7\,162\,162\,162\,\dots$

Dans ce développement, la longueur de la séquence de décimales répétées est égale à 3. Multiplions par 10³ :

$1000A=7\,16,2\,162\,162\,\dots$

Puisque nous avons multiplié par 10³ la longueur de la période, nous avons décalé des chiffres vers la gauche par rapport à la virgule d'autant de positions.

Nous remarquons alors que les décimales de 1000A et de A à partir d'une certaine position sont identiques. Ainsi dans l'écriture décimale de 1000A et de A la séquence 162 se répète à partir d'un certain rang.

Par conséquent, lorsque nous soustrayons A à 1000A, les décimales de la différence deviennent nulles à partir de ce rang.

$999A=715,5\,.$

Ainsi

$A={\frac {715,5}{999}}={\frac {7155}{9990}}={\frac {135\times 53}{135\times 74}}={\frac {53}{74}},$

qui est un quotient de nombres entiers et apparaît donc comme un nombre rationnel.

Problèmes ouverts

On ne sait pas si les nombres π + e et π – e sont ou non irrationnels. En fait, on ne connait pas de paire d'entiers non nuls m et n pour laquelle il serait possible de dire si oui ou non le nombre mπ + ne est irrationnel. On conjecture cependant que l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ.

On ne sait pas plus si 2^e, π^e, π^√2 ou la constante d'Euler-Mascheroni γ sont irrationnels.

Cependant, des calculs en haute précision (voir l'article Mathématiques expérimentales) rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

L'ensemble des irrationnels

L'ensemble ℝ\ℚ des nombres irrationnels est indénombrable (puisque l'ensemble ℝ des réels n'est pas dénombrable tandis que le sous-ensemble ℚ des rationnels l'est). Cet argument montre même que ℝ\ℚ a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ (on peut aussi le voir à l'aide de la bijection ci-dessous entre ℝ\ℚ et l'ensemble ℕ^ℕ de toutes les suites d'entiers positifs).

D'ailleurs, le sous-ensemble des réels transcendants a déjà la puissance du continu (puisque l'ensemble des nombres algébriques est encore dénombrable).

Tout comme ℚ, ℝ\ℚ est dense pour l'ordre dans ℝ et a fortiori dense pour la topologie usuelle de ℝ (la topologie de l'ordre, ou celle induite par la distance associée à la valeur absolue). D'ailleurs (par la même méthode) le sous-ensemble des réels transcendants est déjà dense.

Alors que ℝ est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu.

Alors que l'espace métrique ℝ est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas. Cependant, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet ℕ^ℕ, appelé l'espace de Baire : l'homéomorphisme est donné par le développement en fraction continue. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

Pour tous réels a < b, il existe un isomorphisme d'ordres entre ℚ∩]a, b[ et ℚ (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si a et b sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de ]a, b[ est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans ]a, b[ et isomorphe à ℝ\ℚ.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Irrational number » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Coupure de Dedekind
• Théodore de Cyrène
• Eudoxe de Cnide
• Théétète d'Athènes
• Constante d'Erdős-Borwein
• Théorème d'Apéry

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Irrational Number », sur MathWorld