Fraction irréductible

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Une fraction irréductible est, en mathématiques, une fraction $\frac a b$ où le numérateur a est un entier et le dénominateur b est un entier positif, de telle façon qu’il n’existe pas d’autre fraction $\frac c d$ qui représente le même nombre avec c plus petit, en valeur absolue, que a, et c, d entiers. Si une fraction n'est pas irréductible, on dit qu'elle peut être simplifiée.

Par exemple, la fraction $\frac 2 4$ peut être simplifiée en $\frac 1 2$ et n'est donc pas irréductible, mais les fractions $\frac 1 4$, $\frac 5 6$ et $-\frac{101}{100}$ sont irréductibles.

Une fraction qui n’est pas irréductible peut être réduite en utilisant l’algorithme d’Euclide pour trouver le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur et ainsi les diviser tous les deux par celui-ci.

Théorème

Théorème : Une fraction $\frac a b$ est irréductible si et seulement si, a et b sont premiers entre eux.

Exemple

La fraction $\frac {90} {160}$ n'est pas irréductible parce que le numérateur et le dénominateur sont tous deux divisibles par 2, 5 et 10. Pour mettre cette fraction sous forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 10. On obtient ainsi :

$\frac {90} {160}=\frac{\left(\frac{90}{10}\right)}{\left(\frac{160}{10}\right)}=\frac9{16}.$