Fraction irréductible

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Une fraction irréductible est, en mathématiques, une fraction \frac a b où le numérateur a est un entier et le dénominateur b un entier strictement positif, de telle façon qu'il n'existe pas d'autre fraction \frac c d représentant le même nombre avec c plus petit que a en valeur absolue, c et d étant également deux entiers.

Si une fraction \frac n d n'est pas irréductible, alors elle peut être réduite, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre, le plus grand possible. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur du numérateur n et du dénominateur d. Il peut être trouvé en utilisant l'algorithme d'Euclide. D'après le lemme de Gauss, cette forme réduite est unique.

Exemples[modifier | modifier le code]

La fraction \frac 2 4 peut être réduite en \frac 1 2 et n'est donc pas irréductible, mais les fractions \frac 1 4, \frac 5 6 et -\frac{101}{100} sont irréductibles.

La fraction \frac {90} {160} n'est pas irréductible parce que le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisibles par 2, 5 et 10. Pour mettre cette fraction sous forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 10. On obtient ainsi :

\frac {90} {160}=\frac{\left(\frac{90}{10}\right)}{\left(\frac{160}{10}\right)}=\frac9{16}.

Théorème[modifier | modifier le code]

Soient a un entier et b un entier naturel non nul. Alors \frac a b est irréductible si et seulement si, a et b sont premiers entre eux.