Densité (mathématiques)

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En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible. Ainsi, cette notion exprime la « densité », au sens usuel, de répartition des points de A dans X.

Définition

Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. On dit que A est dense dans X si pour tout élément x de X, tout voisinage de x contient au moins un point de A.

De façon équivalente, A est dense dans X si le seul sous-ensemble fermé de X contenant A est X lui-même. C’est-à-dire que l'adhérence de A est X, ou que l'intérieur du complémentaire ensembliste de A est vide.

Dans le cas d'un espace métrique, il est possible d'utiliser la définition suivante : l'ensemble A dans un espace métrique X est dense si tout élément x de X est la limite d'une suite d'éléments de A.

Espace topologique séparable

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.

Point dense

Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.

Exemples

• Tout espace topologique est dense dans lui-même.
• Les ensembles des nombres rationnels ($\mathbb Q$) et des nombres irrationnels ($\mathbb {R \backslash Q}$) sont denses dans l'ensemble des nombres réels ($\mathbb R$) muni de la topologie usuelle.
• Le groupe général linéaire ${\mathcal{GL}}_n(\mathbb{R})$ (constitué des matrices réelles, carrées et inversibles de taille n) est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, l’ensemble des matrices carrée de taille n.
• Un espace métrique M est dense dans sa complétion M’.
• L'ensemble des fonctions étagées (définies sur un espace mesurable) est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables.

Voir aussi

Articles connexes

• Espace séparable
• Ensemble nulle part dense
• Ordre dense