Densité (mathématiques)

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En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique. Une partie A de X est dite dense[1] dans X si

tout point de X est adhérent à A, ou encore : l'adhérence de A est X.

(Un point x est adhérent à A si tout voisinage de x — ou tout ouvert contenant xrencontre A, et l'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.)

La densité de A se traduit donc aussi par :

tout ouvert non vide rencontre A, ou encore : le complémentaire de A est d'intérieur vide.

Une condition suffisante pour cela est que tout élément de X soit limite d'une suite d'éléments de A. Cette condition est également nécessaire si X est un espace de Fréchet-Urysohn, par exemple un espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages.

Espace topologique séparable[modifier | modifier le code]

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.

Point dense[modifier | modifier le code]

Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.

Exemples[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (de) Paul du Bois-Reymond, « Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […] », Math. Ann., vol. 16,‎ 1880 (lire en ligne) dit : « pantachique » : Alain Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin,‎ 1992 (ISBN 978-2-71161064-8, lire en ligne), p. 37.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Ensemble nulle part dense