Canonique (mathématiques)

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En mathématiques, l'adjectif « canonique » a principalement deux emplois spécifiques :

  • il qualifie des formes d'expressions algébriques censément plus simples et en tout cas auxquelles se ramènent toutes les expressions d'un certain type, ce qui permet de les distinguer et de les classifier ;
  • il désigne un élément classiquement choisi parmi un ensemble d'éléments aux propriétés analogues.

L'existence d'une forme canonique, et d'une méthode générale pour mettre sous cette forme tous les éléments d'un ensemble donné, est une propriété essentielle, et même nécessaire, à la "calculabilité" sur cet ensemble.

Forme canonique[modifier | modifier le code]

En arithmétique
En algèbre
  • La forme canonique d'un polynôme du second degré est une combinaison linéaire avec le carré d'un polynôme unitaire du premier degré et une constante.
En algèbre linéaire
  • Dans la théorie de la réduction d'opérateurs est invoquée la forme canonique de Jordan d'une matrice carrée (voir réduction de Jordan) ;
  • Une quadrique a une forme canonique.

Élément de référence[modifier | modifier le code]

En algèbre lineaire
  • La base canonique de Rn est la suite des vecteurs dont les composantes sont toutes nulles sauf une qui vaut 1.
  • Il existe une injection linéaire canonique d'un espace vectoriel dans son bidual.

En théorie des ensembles :

  • L'injection canonique est l'injection définie par un sous-ensemble d'un ensemble.
  • La surjection canonique ou projection canonique est la surjection associée à une relation d'équivalence sur un ensemble.
  • La décomposition canonique d'une application est son écriture comme composée d'une surjection et d'une injection.

Informatique, et autres applications[modifier | modifier le code]

Dans le domaine de l'écologie des populations, certains modélisateurs ou expérimentateurs et certains logiciels utilisent la notion de communautés canoniques (simplifiées ou non).

Articles connexes[modifier | modifier le code]