Carré parfait

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En mathématiques, un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Les 50 premiers carrés (suite A000290 de l'OEIS) sont :

02 = 0 52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 302 = 900 352 = 1 225 402 = 1 600 452 = 2 025
12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 262 = 676 312 = 961 362 = 1 296 412 = 1 681 462 = 2 116
22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 272 = 729 322 = 1 024 372 = 1 369 422 = 1 764 472 = 2 209
32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 282 = 784 332 = 1 089 382 = 1 444 432 = 1 849 482 = 2 304
42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 292 = 841 342 = 1 156 392 = 1 521 442 = 1 936 492 = 2 401

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.

Nombre carré[modifier | modifier le code]

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.

Le produit de deux nombres carrés est un nombre carré.

La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points :

La somme du 3e nombre triangulaire et du 4e est le 4e nombre carré.

Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs :\sum_{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.

Il est aussi égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent :\frac{n(n+1)}2+\frac{n(n-1)}2=n^2.

La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré.

La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}.

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers non nuls.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Carré parfait sur recreomath.qc.ca