Nombre irrationnel

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Nombre rationnel Zéro 1 (nombre) Fraction (mathématiques) Nombre constructible Racine carrée de deux Nombre d'or Nombre algébrique Racine cubique Trisection de l'angle Nombre plastique Nombre transcendant Pi E (nombre) Constante de Champernowne Théorème de Lindemann-Weierstrass Omega de Chaitin
Représentation des nombres irrationnels selon la répartition des réels en nombres rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Cliquez sur un des nombres du schéma pour plus d'informations concernant l'élément choisi. (Image source)vdm

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où et sont deux entiers relatifs (avec non nul).

On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants. Les nombres algébriques peuvent s'exprimer comme racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cet ensemble dénombrable inclut tous les nombres rationnels, mais aussi des irrationnels. Un sous-ensemble intermédiaire est celui des nombres constructibles, d'une grande importance historique car liés aux problèmes de construction à la règle et au compas, essentiels à la géométrie de l'époque d'Euclide. Les nombres non algébriques, comme π et e, sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des nombres calculables. On conjecture également qu'il existe des nombres normaux algébriques, et on en connait qui sont transcendants.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres 2, dont l'irrationalité a été établie dans l'Antiquité. Celles de π et de e ont été établies bien plus tard, au XVIIIe siècle ; ce sont les premiers nombres transcendants[N 1] dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au XIXe siècle que presque tous les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2017, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la constante d'Euler-Mascheroni.

Sommaire

Histoire[modifier | modifier le code]

Les Śulba-Sūtras, originaires d'Inde et datés d'une période comprise entre 800 et 500 av. J.-C., constituent le plus ancien document connu de l'utilisation de nombres irrationnels. Ils mentionnent, dans le but de construire un autel aux dimensions réglementaires pour un sacrifice, le fait que les longueurs de la diagonale et du côté d'un carré sont incommensurables l'une à l'autre[1]. Les travaux antiques les plus connus concernant les irrationnels ont cependant été produits dans le monde grec.

Antiquité grecque[modifier | modifier le code]

L'historiographie a longtemps décomposé l'étude de l'irrationalité en trois grandes étapes : la découverte, sans doute par un pythagoricien[2], d'un cas particulier de grandeurs non commensurables, puis l'établissement de l'irrationalité de quelques exemples analogues et enfin, l'étude systématique de celle-ci, notamment par Euclide. Il n'est cependant pas aisé de reconstituer l'enchaînement précis des différentes phases, car tous les textes de l'époque ne sont pas connus et ceux qui le sont ont fait l'objet de controverses, concernant notamment leur interprétation.

Vocabulaire employé[modifier | modifier le code]

L'une des difficultés de l'étude des textes antiques traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En grec ancien, le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants[3] :

  • ἂρρητος / arrêtos : inexprimable ;
  • ἀσύμμετρος / asymmetros : incommensurable, ce terme pouvant être précisé :
    • μήκει ἀσύμμετρος / mêkei asymmetros : incommensurable en longueur ;
    • σύμμετρος δυνάκει / symmetros dynakei : commensurable en carré ;
  • ἄλογος / alogos : littéralement qui ne peut former de rapport ; c'est le plus proche du terme moderne irrationnel.

De tous ces termes, seul ἂρρητος n'apparaît pas dans le livre X des Éléments d'Euclide[3]. En revanche, le mot ῥητος (qui d'un point de vue strictement lexical est le contraire du mot ἂρρητος) est employé comme le contraire du mot ἄλογος signifiant irrationnel ; sa définition inclut cependant le concept σύμμετρος δυνάκει (commensurable en carré)[4] : le nombre 2 serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de Platon[3]. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde.

La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom δύναμις / dynamis signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'aire est égale à celle d'une surface déjà identifiée[3] ; ainsi, le δύναμις d'un rectangle de longueur 2 et de largeur 1 est un carré d'aire 2. Ce terme, attesté dès l'époque d'Hippocrate de Chios, a généré de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le Théétète de Platon[3].

Découverte des irrationnels[modifier | modifier le code]

La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du Ve siècle av. J.-C. et le premier quart du IVe siècle av. J.-C.[3]. Elle est en tout cas antérieure au livre de Démocrite des Nombres irrationnels et des Solides, qui date de cette période.

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré[5], propriété équivalente à l'irrationalité de 2. La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or, qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier sur celle d'un de ses cotés[6]. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème arithmétique de la recherche d'un entier qui soit à la fois un carré parfait et le double d'un autre carré parfait[3] ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de 2. Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré[3].

La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elle repose sur le principe du pair et de l'impair[7],[8], elle est notamment citée par Aristote[9]. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une descente infinie, d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues. Cette dernière technique serait héritée des cultures de Mésopotamie[10].

Étude ultérieure des irrationnels[modifier | modifier le code]

Suite à la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par Théodore de Cyrène d'autres exemples se ramenant aux nombres n (pour n entier non carré compris entre 3 et 17)[11]. Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que 17[12] ; il est cependant probable qu'elle soit erronée[3]. En effet, elle résulte d'un passage du Théétète, mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une[3].

Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité[3]. Le livre X des Éléments, écrit vers -300, présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus[3].

Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. Archimède a notamment utilisé la méthode d'exhaustion pour donner une estimation de π et Héron d'Alexandrie expose une méthode pour évaluer une racine carrée[N 2].

Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements »[modifier | modifier le code]

Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité[13]. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou[14] ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques.

L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens[15], et ce dès les travaux de Paul Tannery en 1887[16], et plus encore dans les premières décennies du XXe siècle[17]. D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction a posteriori par laquelle les mathématiciens du XXe siècle auraient calqué leur crise des fondements sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs à l'aune de concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du XXe siècle ont ainsi battu en brèche le concept de « crise antique des fondements »[18].

Moyen-Orient médiéval[modifier | modifier le code]

Le Moyen Âge voit le développement de l'algèbre au sein des mathématiques arabes, ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels[19]. Les mathématiciens du monde arabo-musulman cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs rapports[20]. Dans son commentaire du livre X des Éléments, le mathématicien persan Al-Mahani étudie et classifie les irrationnels quadratiques et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner[20]. Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un rationnel et un irrationnel, le résultat est irrationnel[20].

Le mathématicien égyptien Abū Kāmil Shujā ibn Aslam est le premier à accepter qu'un nombre irrationnel représenté par une racine carrée, cubique ou n-ième puisse être solution d'une équation quadratique ou qu'il soit un coefficient d'une équation[21].

Les mathématiciens arabes ont aussi repris et perfectionné des méthodes d'approximation numérique ; les 16 premières décimales de π sont par exemple trouvées par Al-Kashi grâce à des méthodes géométriques[22].

Époque moderne[modifier | modifier le code]

Débats sur la nature des nombres irrationnels[modifier | modifier le code]

Au XVIe siècle, la communauté mathématique accueille les fractions. Au XVIIe siècle, les mathématiciens emploient de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentent déjà ces nombres avec la notation moderne. La notation décimale permet des calculs numériques sur les nombres irrationnels[23]. Pourtant bien que ceux-ci soient utilisés couramment, le débat sur leur nature n'est pas tranché. Simon Stevin et Isaac Newton considèrent que les irrationnels, appelés à l'époque « nombres sourds », sont des nombres au même titre que les entiers et les rationnels[23] tandis que d'autres comme Blaise Pascal conservent le cadre fournit par les Éléments d'Euclide, dans lequel les irrationnels ne sont pas des nombres[23]. Dans l'Encyclopédie, D'Alembert rend compte des deux positions et prend partie pour l'idée selon laquelle les irrationnels ne sont pas des nombres, mais qu'ils sont approchables par ceux-ci avec une précision aussi fine que l'on veut[23],[24],[25]. Abraham Kästner propose par la suite d'expliquer les propriétés algébriques des nombres irrationnels par celles des rationnels, qu'il peut étendre grâce à la densité des rationnels dans les irrationnels[23].

Méthodes d'approximation numérique[modifier | modifier le code]

Isaac Newton met au point à la fin du XVIIe siècle un algorithme permettant le calcul numérique de racines de polynômes, a priori irrationnelles[N 3]. Cet algorithme, connu depuis sous le nom de méthode de Newton, a ensuite été adapté pour calculer les zéros de fonctions non polynomiales.

Dans le cas particulier du nombre π, John Machin publie en 1706 une formule donnant π à l'aide de la fonction arctangente :

.

Une amélioration de cette formule par Jurij Vega lui permet en 1789 de calculer π avec une précision de 126 décimales[N 4]. D'autres formules permettant d'exprimer ont été exhibées au XVIIIe siècle, notamment la résolution par Euler du problème de Bâle qui donne une identité, peu utile pour un calcul pratique, reliant π et la série des inverses des carrés des entiers[26] :

.

Un autre exemple d'identité permettant le calcul numérique de π est fourni par la formule de Leibniz, découverte en Europe au XVIIe siècle, mais qui était déjà connue de manière indépendante en Inde depuis deux siècles par l'école du Kerala[N 5] :

.

Découverte de nouveaux nombres irrationnels[modifier | modifier le code]

Les fractions continues (dues à Cataldi en 1613[27]), étroitement liées aux nombres irrationnels, sont prises en considération par Euler, qui montre ainsi[N 6] notamment, en 1737, l'irrationalité de e et de e2[28].

Lambert démontre en 1761 que π n'est pas rationnel. Pour cela, il montre que la tangente et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul sont des irrationnels[28], en les approchant par des suites de rationnels issues de fractions continues généralisées particulières[N 7]. Il conjecture par la suite la transcendance de π et e, mais ne remarque pas que sa méthode fournit une démonstration que π2 est lui aussi irrationnel[N 8]. Cette constatation est faite plus tard par Legendre[29],[30]. Lambert montre également que l'exponentielle et le logarithme de tout rationnel non nul (et également différent de 1 dans le cas du logarithme) est un irrationnel[23].

Époque contemporaine[modifier | modifier le code]

Définition rigoureuse des nombres réels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Construction des nombres réels.

Jusqu'au XIXe siècle, l'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet — contrairement aux rationnels, qu'il est facile de construire algébriquement à partir des entiers — la notion de nombre réel est encore mal définie au début de la seconde moitié du XIXe siècle. L'une des premières tentatives en ce sens remonte aux travaux de Bernard Bolzano dans la première moitié du XIXe siècle, mais ces travaux sont peu diffusés et n'influencent guère les constructions ultérieures[31]. Karl Weierstrass travaille également sur la formalisation des nombres réels comme limites de rationnels, mais il ne publie rien à ce sujet et cette partie de son œuvre n'est connue que par les notes prises par son étudiant Adolf Hurwitz ayant suivi ses cours ; notes qui ne sont cependant pas publiées avant les années 1880[31].

Deux types de construction rigoureuse des nombres réels ont été présentées dans les années 1870 :

Ces deux approches sont équivalentes[N 9].

Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels[modifier | modifier le code]

Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant les XIXe et XXe siècles. Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que 2 sont constructibles, mais ce n'est qu'au XIXe siècle que Wantzel caractérise l'ensemble des nombres constructibles[N 10], qui est le plus petit corps stable par la racine carrée contenant . Cela permet de montrer[N 10] que les problèmes antiques de trisection de l'angle et de duplication du cube sont impossibles à l'aide de la règle et du compas seuls.

À la même période sont aussi étudiés les nombres transcendants, dont les premiers exemples sont exhibés par Liouville en 1844[N 11]. Hermite montre en 1873 la transcendance de e[N 12] et en 1882, Lindemann montre celle de π[N 12]. Ce dernier résultat permet de répondre par la négative[N 10] au problème de la quadrature du cercle, qui était ouvert depuis l'Antiquité grecque. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du septième problème de Hilbert, qui demande si le nombre ab est transcendant dès que a est algébrique et différent de 0 ou 1 et que b est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider.

Le XXe siècle voit également l'étude des nombres univers qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des nombres normaux qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont équiprobables. Bien que Borel ait prouvé en 1909 que presque tous les nombres irrationnels sont normaux en toute base[N 13], on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la base 10, on peut citer la constante de Champernowne (qui est même transcendante), ou celle de Copeland-Erdős. De plus il est conjecturé que les nombres 2 (et même tous les nombres algébriques irrationnels[33]), π et e sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement[33], cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples.

Le développement de l'informatique théorique dans les années 1930 a, parallèlement à cela, mené à l'étude des nombres calculables, c'est-à-dire pour lesquels il existe une machine de Turing capable d'en énumérer les décimales ainsi que de quantifier l'erreur d'approximation. L'ensemble des réels calculables contient l'algèbre des périodes, donc tous les nombres algébriques et π, et il est stable par l'exponentielle. En particulier, tous les nombres non calculables sont transcendants et a fortiori irrationnels. Bien que l'ensemble des réels non calculables soit codénombrable (en), on connait peu de nombres qui en fassent partie. Parmi ceux-ci on trouve par exemple toute limite d'une suite de Specker, dont la définition est liée au problème de l'arrêt.

Informatique et calcul numérique[modifier | modifier le code]

Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de π, mesurée en décimales (représentée sur une échelle logarithmique).

Avant l'essor de l'informatique à la fin des années 1940, il était extrêmement laborieux de calculer effectivement plus de quelques centaines de décimales d'un nombre irrationnel donné. En 1940, on ne connaissait par exemple que 527 décimales exactes de π, grâce au travail de William Shanks publié en 1873[34],[N 14]. En 1949, l'ordinateur ENIAC en donne 2 037 en 70 h, en utilisant la formule de Machin[34].

Des algorithmes génériques sont développés, comme la transformée de Fourier rapide qui accélère le calcul des multiplications[34]. Dans le même temps, la puissance de calcul des ordinateurs augmente de manière exponentielle. Ainsi en 1978, on connaissait déjà 116 000 décimales de e[35] et en 2000, plus de 1012 décimales de π[34] et plus d'un million de décimales de la constante γ d'Euler[36] étaient calculées.

Des algorithmes spécifiques sont également conçus pour le calculs de certains nombres en particulier. Dans le cas de π, les premiers algorithmes utilisant des formules proches de la formule de Machin sont ainsi abandonnés au profit d'autres formules plus efficaces, comme celle obtenue par Ramanujan en 1914[34] :

.

Les premiers calculs d'approximations de nombres irrationnels donnaient toutes les décimales de la première jusqu'à une borne plus ou moins élevée, mais on ne savait pas calculer une décimale donnée sans connaître celles qui la précèdent[34]. En 1995, les mathématiciens Simon Plouffe, David H. Bailey et Peter Borwein découvrent la formule BBP, qui permet de calculer tout chiffre du développement de π en base 16 sans avoir à déterminer ceux qui précèdent[34],[N 15]. Avant de découvrir cette formule, ils avaient déjà établi qu'il est possible de calculer séparément tout chiffre du développement binaire du logarithme de 2 grâce à l'égalité[34] :

.

Propriétés des nombres irrationnels[modifier | modifier le code]

Développement décimal[modifier | modifier le code]

La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via leur développement décimal, grâce au théorème suivant[37], démontré dans l'article détaillé :

Théorème — Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal propre n'est pas périodique[N 16].

On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).

Ainsi le calcul du développement d'un nombre rationnel est aisé puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de chiffres à calculer pour le caractériser complètement, tandis que le calcul des développements de nombres irrationnels nécessite généralement la mise en œuvre de techniques mathématiques d'autant plus avancées que la précision souhaitée est élevée (voir supra).

Développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Les fractions continues permettent entre autres de caractériser l'irrationalité, d'identifier des types particuliers d'irrationnels, et de fournir de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels.

Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre réel , le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément[38] :

Théorème — 

  • Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue simple finie.
  • Toute fraction continue simple infinie converge vers un nombre irrationnel et tout nombre irrationnel peut être représenté de manière unique par une fraction continue simple infinie.

Cas des irrationnels quadratiques[modifier | modifier le code]

Un irrationnel est dit quadratique s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers.

Théorème de Lagrange[N 17] — Un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique[N 16].

Approximation d'un irrationnel par une fraction continue[modifier | modifier le code]

La suite des réduites du développement en fraction continue d'un irrationnel converge vers « rapidement » : toute réduite du développement vérifie [38].

Par exemple, le début du développement en fraction continue de π est [3, 7, 15, 1, 292, …]. À partir de ce début de développement, on trouve comme approximation de π : avec une erreur inférieure à , c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes.

Il est possible de comparer la précision obtenue en approchant un irrationnel par les premiers termes de son développement en fraction continue ou par les premiers chiffres de son développement décimal. En effet pour presque tout irrationnel , le théorème de Lochs affirme que les premiers entiers du développement en fraction continue de donnent asymptotiquement décimales exactes.

Mesure d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Mesure d'irrationalité.

Caractérisation des irrationnels[modifier | modifier le code]

L'ensemble des nombres rationnels est dense dans celui des réels. Par conséquent, pour tout nombre réel , rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombre rationnels qui converge vers . Cependant, tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la mesure d'irrationalité de n'importe quel réel . Il s'agit[N 18] de la borne supérieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples d'entiers tels que et . Grossièrement, cela signifie que si un réel a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel alors, à dénominateur égal, il est possible d'approcher plus finement que avec un nombre rationnel.

Les deux théorèmes suivants permettent de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité[39],[40] :

Théorème — 

  • La mesure d'irrationalité de tout nombre rationnel est égale à 1[N 19].
  • La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2[N 20].

On peut renforcer le second point du théorème : si un réel est irrationnel, l'existence d'une infinité de couples d'entiers tels que et est garantie non seulement pour tout , mais même pour . Cela se déduit par exemple de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue (voir supra), ou du théorème d'approximation de Dirichlet.

Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une série dont le terme général est rationnel et qui converge suffisamment rapidement[41].

Valeurs particulières de mesure d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Tout irrationnel a une mesure supérieure ou égale à 2 ; elle vaut même exactement 2 pour presque tout réel[N 11]. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même parfois connue ou au moins estimée :

  • pour tout nombre irrationnel algébrique , est fini d'après le théorème de Liouville, et même égal à d'après le théorème de Roth ;
  • les nombres de Liouville, de mesure infinie par définition, sont les premiers nombres transcendants à avoir été exhibés ;
  •  ;
  •  ;
  • [42], où désigne la constante d'Apéry (voir infra).

Propriétés de l'ensemble des irrationnels[modifier | modifier le code]

Propriétés de clôture[modifier | modifier le code]

L'ensemble des irrationnels vérifie la propriété de clôture suivante : si le carré (ou plus généralement, une puissance entière) d'un réel est un irrationnel, alors ce réel lui-même est irrationnel (par contraposée de la proposition selon laquelle tout produit de rationnels est rationnel). Cela permet, connaissant un nombre irrationnel, d'en construire une infinité d'autres.

On peut aussi, sachant que pour tout nombre irrationnel et tout rationnel , les nombres et sont irrationnels[43], faire agir le groupe projectif linéaire (ou [N 21]) :

Théorème —  Soit un nombre irrationnel. Alors, pour tous rationnels tels que , le réel est irrationnel.

Par exemple :

  • puisque est irrationnel (voir infra), et le nombre d'or le sont aussi ;
  • pour tout angle tel que soit irrationnel, les nombres , et sont irrationnels[44], d'après les formules de réduction du carré.

En revanche, la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels : par exemple, et .

Cardinalité[modifier | modifier le code]

L'ensemble ℝ\ℚ des irrationnels a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ, comme le prouve, au choix, l'un des trois arguments suivants :

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

Les parties et sont toutes les deux denses pour l'ordre dans et a fortiori denses pour la topologie usuelle de ℝ. Pour tous réels , il existe un isomorphisme d'ordres entre et (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si et sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans et isomorphe à .

Alors que est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu (puisqu'il ne contient aucun intervalle non trivial).

Dans , les irrationnels forment un Gδ (c'est-à-dire une intersection dénombrable d'ouverts) mais pas un Fσ (c'est-à-dire une union dénombrable de fermés)[N 23]. Autrement dit[N 24] : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction à valeurs réelles peut être égal à [N 25] mais pas à [45].

Alors que l'espace métrique est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas (puisqu'il n'est pas fermé dans ). Cependant, par la bijection évoquée ci-dessus, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet , appelé l'espace de Baire. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Prouver qu'un réel est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier tel que , or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel ne peut pas s'écrire sous la forme et sont inférieurs à une certaine constante , cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Par exemple, on sait que si la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle alors ce ne peut être qu'une fraction dont le dénominateur comporte au moins 242 080 chiffres[N 26] mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.

Irrationalité de nombres manifestement algébriques[modifier | modifier le code]

Exemple préliminaire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Irrationalité de 2.

Le nombre 2 est l'un des premiers dont on ait prouvé l'irrationalité. Celle-ci peut en effet être obtenue grâce à des considérations élémentaires de parité[12],[N 27]:

Propriété des polynômes à coefficients entiers[modifier | modifier le code]

  • Lorsqu'un nombre algébrique est irrationnel, le théorème suivant permet souvent de le vérifier :
Théorème[46] — Si un rationnel (mis sous forme irréductible) est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers
,
alors divise et divise .
Il n'y a donc qu'un nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main. Si aucun de ces rationnels n'est solution, toute solution est irrationnelle.
Exemples
  • Les coefficients extrêmes du polynôme , dont le nombre d'or est racine, sont et , qui ne sont divisibles que par . Comme et ne sont pas racines du polynôme, on retrouve ainsi (voir supra), sans même résoudre l'équation du second degré, que est irrationnel.
  • La racine réelle du polynôme est strictement positive et ne fait pas partie de l'ensemble (car P(3/4) < 0 < P(1)) ; elle est donc irrationnelle.
  • Le nombre est racine du polynôme [N 10], dont aucun rationnel n'est racine[N 28]. Il est par conséquent algébrique de degré 3, donc irrationnel et même non constructible[N 10] (si bien que pour tout entier relatif , , et sont non constructibles)[N 29].

Corollaire[46] — La racine n-ième d'un entier N > 0 est irrationnelle, sauf si N est la puissance n-ième d'un entier.

Utilisation de l'infinitude du développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Toute fraction continue simple infinie représente un irrationnel (voir supra).

La fraction continue la plus simple est celle du nombre d'or, que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation  : . On retrouve ainsi à nouveau que est irrationnel.

Irrationalité de constantes remarquables[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas d'entier strictement compris entre 0 et 1. On peut exploiter cette propriété comme suit pour démontrer que e et π sont irrationnels. Ce résultat n'est pas optimal : on peut en effet prouver, bien que les démonstrations soient plus difficiles, que ces deux nombres sont même transcendants[N 12].

Irrationalité de e[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Irrationalité de e.

Théorème — Le nombre e est irrationnel.

Fourier redémontre ce résultat d'Euler en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, évalué en  : .

Cela lui permet de montrer que pour tout entier b > 0, le nombre b! e a une partie fractionnaire non nulle donc n'est pas entier, et donc que e n'est pas rationnel.

Irrationalité de π[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Irrationalité de π.

Théorème — Le nombre π est irrationnel.

Ivan Niven redémontre par l'absurde ce résultat de Lambert, en supposant que avec et entiers et en construisant, à partir de cette hypothèse, une expression qui est égale à un nombre entier tout en pouvant être strictement comprise entre 0 et 1, ce qui est absurde. Supposer que est rationnel conduit donc à une contradiction, et donc est irrationnel.

Irrationalité de la constante d'Apéry[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Apéry.

Il est possible (voir supra) de prouver l'irrationalité d'un réel en exhibant une suite de rationnels convergeant vers « suffisamment vite », c'est-à-dire telle que pour tout on ait . C'est grâce à une telle technique que Roger Apéry a montré en 1978 le résultat suivant, sur l'image de 3 par la fonction ζ de Riemann :

Théorème — La constante d'Apéry est irrationnelle.

Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal[modifier | modifier le code]

Non-périodicité du développement dans une base[modifier | modifier le code]

Tout rationnel ayant un développement périodique dans toute base, il suffit, pour prouver qu'un réel est irrationnel, de montrer que dans une certaine base, son développement n'est pas périodique. Cela peut parfois être fait directement comme dans le cas du théorème suivant :

Théorème — La constante des nombres premiers, de développement binaire , est irrationnelle.

Ce théorème peut être démontré par l'absurde, en supposant le développement binaire périodique et en montrant que la période sépare un chiffre associé à un nombre premier d'un chiffre associé à un nombre composé[N 31].

Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement[modifier | modifier le code]

Dans la pratique, la non-périodicité peut être obtenue en établissant l'existence de suites finies de de longueur arbitraire[N 32]. En effet si le nombre est périodique il ne peut comporter des séquences de zéros plus longues que la longueur de sa période à moins d'avoir un développement décimal fini.

Une application élémentaire est fournie par le résultat suivant :

Théorème — La constante de Champernowne est irrationnelle.

En effet, son développement en base n'est pas périodique parce qu'il contient les entiers de la forme pour arbitrairement grand, et donc des suites de finies arbitrairement longues. Ce nombre est en fait même normal et transcendant.

Un exemple moins trivial est le suivant :

Théorème — La constante de Copeland-Erdős est irrationnelle.

La constante de Copeland-Erdős est définie par est le k-ième nombre premier, et où est la partie entière de son logarithme décimal. C'est-à-dire que le développement décimal de la constante de Copeland-Erdős est la concaténation des éléments de la suite des nombres premiers.

On montre l'irrationalité de en exhibant des suites de zéros arbitrairement longues.

L'irrationalité de peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un nombre normal en base 10, joint à la propriété élémentaire suivante :

Propriété[N 13] — Tout nombre normal dans au moins une base est irrationnel.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

Logarithmes d'entiers[modifier | modifier le code]

Le nombre log10 2 est irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers a, b ≠ 0 tels que 2a = 10b ; plus généralement, logn m = ln mln n est irrationnel[N 33] pour tous entiers m, n > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers[12] (ou encore : le même radical). Par exemple : log10 15 et log2 6 sont irrationnels.

Séries d'inverses d'entiers particuliers[modifier | modifier le code]

La constante d'Erdős-Borwein , obtenue comme la somme de la série des inverses des nombres de Mersenne, et la somme de la série des inverses des nombres de Fermat[47] [N 34] sont irrationnelles. En effet, des suites arbitrairement longues de zéros ont été mises en évidence dans leur développement en base 2. Le raisonnement mis en œuvre pour ce faire est cependant bien plus technique que dans les exemples précédents.

Problèmes ouverts[modifier | modifier le code]

On ne sait pas si les nombres π + e et π – e sont ou non irrationnels[N 35]. On conjecture cependant que π, e et 1 sont ℚ-linéairement indépendants[N 36].

On ne sait pas plus si 2e, πe, π2, la constante de Khintchine ou la constante γ d'Euler-Mascheroni sont irrationnels. On ignore également, pour tout entier impair n > 3, si ζ(n) est irrationnel. En effet, pour les entiers positifs impairs[N 37], seul le cas de ζ(3) est connu grâce au théorème d'Apéry. Cependant, il a été prouvé que ζ prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs, dont au moins l'un des quatre nombres 5, 7, 9 ou 11[N 38]. De plus, des calculs en haute précision rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

Certains problèmes ouverts d'autres domaines des mathématiques peuvent être exprimés comme des problèmes d'irrationalité. Par exemple si la constante de Brun était irrationnelle, cela impliquerait la conjecture des nombres premiers jumeaux[N 39].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Irrational number » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. L'existence même de nombres transcendants n'était cependant pas certaine pour les mathématiciens de l'époque.
  2. Ces propriétés sont énoncées ici avec une formulation moderne, ni π ni les racines carrées n'étant considérés comme des nombres à proprement parler dans l'Antiquité grecque.
  3. Les nombres rationnels potentiellement racine d'un polynôme donné sont en nombre fini, et ne nécessitent pas de calcul approché pour être identifiés (voir infra).
  4. Voir l'article « Formule de Machin » pour plus de détails.
  5. Voir l'article « Formule de Leibniz » pour plus de détails.
  6. Voir la section « Exemple : le nombre e » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».
  7. Voir la section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».
  8. Ce résultat a donc pour conséquence l'irrationalité de la somme calculée par Euler 30 ans plus tôt, et que l'on note aujourd'hui .
  9. Voir l'article détaillé « Construction des nombres réels ».
  10. a, b, c, d et e Voir l'article « Théorème de Wantzel ».
  11. a et b Voir l'article « Nombre de Liouville ».
  12. a, b et c Voir l'article « Théorème d'Hermite-Lindemann ».
  13. a et b Voir l'article « Nombre normal ».
  14. Shanks donnait en fait 707 décimales mais son calcul, effectué à la main, était faux au-delà de la 528e.
  15. Aucune formule analogue pour la base 10 n'est connue en 2017.
  16. a et b Dans tout cet article, « périodique » signifie « périodique à partir d'un certain rang ».
  17. Voir la section « Période » de l'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».
  18. Pour des définitions équivalentes, voir l'article « Mesure d'irrationalité ».
  19. Voir la section « Propriétés » de l'article « Nombre rationnel ».
  20. Le théorème de Hurwitz raffine ce résultat en énonçant que pour tout irrationnel il existe une infinité de rationnels tels que et que la constante est optimale.
  21. En restreignant l'action à , on trouve tous les irrationnels équivalents à un irrationnel donné.
  22. a et b Voir la section « Travaux » de l'article sur Georg Cantor.
  23. En effet, les rationnels forment un Fσ mais pas un Gδ : voir la section « Propriétés élémentaires » de l'article « Hiérarchie de Borel ».
  24. Pour cette équivalence, voir la section « Ensemble des discontinuités d'une fonction » de l'article « Classification des discontinuités ».
  25. C'est le cas par exemple de la fonction de Thomae.
  26. Voir la section « Valeur approchée et propriétés » de l'article « Constante d'Euler-Mascheroni ».
  27. Cette preuve est traditionnellement attribuée à Pythagore, bien que l'on ne sache pas si elle est de lui ni s'il s'agit de la première à avoir été proposée (voir supra).
  28. Voir la section « Exemple de preuve d'irrationalité » de l'article « Racine évidente ».
  29. Cela se déduit des identités trigonométriques classiques valables pour tout réel  : , et , ou encore, de la constructibilité des bissectrices.
  30. Pour une démonstration directe dans un cadre plus général, voir la section « Fermeture intégrale » de l'article « Lemme d'Euclide ».
  31. Pour le détail de la preuve, voir l'article détaillé.
  32. Dans le cas précédent, on aurait pu aussi montrer l'irrationalité de la constante des nombres premiers en utilisant le fait que pour tout entier , les entiers consécutifs sont tous composés.
  33. Le théorème de Gelfond-Schneider permet alors d'en déduire que ln mln n est même transcendant.
  34. Suite A051158 de l'OEIS.
  35. On sait cependant que l'un au moins de ces deux nombres est irrationnel et même transcendant, puisque leur somme, , l'est ; on sait de même qu'un des deux nombres a = π + e et b = π*e est transcendant, car π et e sont racines du polynôme .
  36. Et même (cf. Conjecture de Schanuel) que π et e sont ℚ-algébriquement indépendants.
  37. Les images des entiers positifs pairs par la fonction ζ sont, elles, transcendantes.
  38. Pour plus de détails, voir la section « Généralisations » de l'article « Théorème d'Apéry ».
  39. En effet, s'il y a un nombre fini de nombres premiers jumeaux, la constante de Brun est rationnelle en tant que somme finie de rationnels.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Mark Siderits et J. Dervin O'Brien, « Zeno and Nāgārjuna on Motion », Philosophy East and West, vol. 26, no 3,‎ , p. 281-299 (JSTOR 1397860).
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  3. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k et l Árpád Szabó (de) (trad. de l'allemand par Michel Federspiel), L'aube des mathématiques grecques [« Entfaltung der grieschischen Mathematik »], Librairie philosophique J. Vrin, (1re éd. 1993), 367 p. (ISBN 2-7116-1279-1), partie III, « L'irrationalité mathématique ».
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  9. (en) Thomas Heath, Mathematics in Aristotle [« Les mathématiques chez Aristote »], Oxford, , 310 p. (ISBN 9781317380597, présentation en ligne), partie III, chap. 1 (« Incommensurability of the diagonal (of a square with its side) »).
  10. Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : Maurice Caveing, L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide, Éditions du Septentrion, (ISBN 978-2-85939539-1, lire en ligne).
  11. « The only certainty about the discovery of irrationality is that Theodorus of Cyrene proved that n (for n = 3, ..., 17 and not a perfect square) is irrational. »(en) Árpád Szabó (de), The Beginnings of Greek Mathematics, Springer, (ISBN 978-90-277-0819-9, lire en ligne), p. 35, citant (de) Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft, , p. 439.
  12. a, b, c, d et e Hardy Wright 2007, chap. 4.
  13. J.-L. Périllié, La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini, transcription d’une conférence donnée le 16 mai 2001 à Grenoble, p. 14.
  14. Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, Jamblique, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : « Hence, when late writers, like Iamblichus, make ambitious claim for Pythagorean science […], we have occasion for scepticism. », cf. (en) Wilbur Richard Knorr (en), The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry, D. Reidel, (lire en ligne), p. 5.
  15. J.-L. Périllié, op. cit..
  16. Paul Tannery, La Géométrie grecque, comment son histoire nous est parvenue et ce que nous en savons., Paris, Gauthier-Villars, (lire en ligne).
  17. (en) Wilbur Knorr, « The impact of modern mathematics on ancient mathematics », Revue d'histoire des mathématiques, vol. 7,‎ , p. 121-135 (lire en ligne).
  18. Hans Freudenthal, « Y avait-il une crise des fondements des mathématiques dans l'Antiquité ? », Bulletin de la société mathématique de Belgique, vol. 18,‎ , p. 43-55 (lire en ligne).
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  30. Voir cependant (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Franz Halter-Koch et Robert F. Tichy, Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, Walter de Gruyer,‎ (lire en ligne), p. 521-530.
  31. a, b et c Jacqueline Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse, Ellipses, (ISBN 9782729811426).
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  46. a, b et c Niven 1961, chap. 4, § 3 (« Rational roots of polynomial equations »), p. 57-62 ; c'est une variante plus simple du critère d'Eisenstein.
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Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Aspects mathématiques[modifier | modifier le code]

  • G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], particulièrement les chapitres 4 (« Nombres irrationnels »), 9 (« L'écriture décimale des nombres »), 10 (« Fractions continues ») et 11 (« Approximations des irrationnels par des rationnels »).
  • (en) Ivan Niven, Irrational Numbers, Cambridge University Press, (lire en ligne).
  • (en) Ivan Niven, Numbers: Rational and Irrational, The L. W. Singer Company, coll. « New Mathematical Library », , 136 p. (ISBN 978-0883856017).

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

  • Jacqueline Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse, Ellipses, (ISBN 9782729811426).
  • Maurice Caveing, La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque, vol. 3 : L’irrationalité dans les Mathématiques grecques jusqu’à Euclide, Presses universitaires du Septentrion, (ISBN 2-85939-539-3, notice BnF no FRBNF36971590, lire en ligne).
  • Éliane Cousquer, La fabuleuse histoire des nombres, Diderot éditeur, arts et sciences, coll. « Jardin des sciences », , 259 p. (ISBN 2-84352-114-9), chap. 9 (« Des irrationnels aux réels »).
  • Árpád Szabó (de) (trad. de l'allemand par Michel Federspiel), L'aube des mathématiques grecques [« Entfaltung der grieschischen Mathematik »], Librairie philosophique J. Vrin, (1re éd. 1993), 367 p. (ISBN 2-7116-1279-1), partie III, « L'irrationalité mathématique ».

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Irrational Number », MathWorld

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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