Nombre irrationnel

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Répartion des réels en irrationnels, rationnels, algébriques et transcendants.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où et sont deux entiers relatifs (avec non nul).

On considère souvent deux sous-catégories de nombres irrationnels : les nombres algébriques non-rationnels et les nombres transcendants. Les nombres algébriques sont les nombres pouvant s'exprimer comme racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire inclut tous les nombres rationnels, mais permet aussi d'exhiber de nombreux nombres irrationnels. Au sein des nombres algébriques, les nombres constructibles ont une grande importance historique car ils sont liés aux problèmes de construction à la règle et au compas, essentiels à la géométrie de l'époque d'Euclide. Les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. Les nombres π et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels. Cependant certains ensembles de nombres irrationnels étudiés peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants. On conjecture que c'est le cas des nombres normaux, bien que seuls des nombres transcendants normaux soient connus.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres dont l'irrationalité a été établie dans l'Antiquité. Celle de et de ont été établies bien plus tard, au XVIIIe siècle ; ce sont les premiers nombres transcendants [N 1] dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au XIXe siècle que presque tous les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. Encore aujourd'hui on ignore le statut de plusieurs constantes emblématiques telles que la constante d'Euler-Mascheroni.

Sommaire

Histoire[modifier | modifier le code]

Antiquité[modifier | modifier le code]

Les Shulba Sutras, datés d'une période comprise entre 800 et 500 av. J.-C., constituent le plus ancien document connu de l'utilisation de nombres irrationnels. Ils mentionnent, dans le but de construire un autel aux dimensions réglementaires pour un sacrifice, le fait que les longueurs de la diagonale et du côté d'un carré sont incommensurables l'une à l'autre[1].

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique cependant avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré[2], propriété équivalente à l'irrationalité de 2. La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or[3]. Elle est encore entourée de mystère[4], mais on admet généralement qu'elle est l'œuvre d'un Pythagoricien de la première moitié du Ve siècle av. J.-C.[5]. Cette découverte ouvrit probablement une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs[6]. Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité[7]. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou[8].

La première démonstration[9] date d'avant -410 et porte probablement[10] sur l'étude de . Plusieurs idées de démonstration sont imaginées, l'une d'elle reposant sur le principe du pair et de l'impair[11],[12]. Ce principe remontant au début du Ve siècle av. J.-C., la démonstration pourrait être ancienne. D'autres démonstrations sont imaginées, à l'aide d'une descente infinie ou encore d'un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues, technique ancienne héritée des cultures de Mésopotamie[13]. Le livre X des Éléments d'Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.

Époque moderne[modifier | modifier le code]

Au XVIe siècle, la communauté mathématique accueillit favorablement les nombres négatifs et les fractions. Au XVIIe siècle, les mathématiciens employèrent de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentaient déjà ces nombres avec la notation moderne.

Pendant les cent années suivantes furent introduits les nombres complexes, qui devinrent un outil puissant forgé par Abraham de Moivre, et plus particulièrement aiguisé par Leonhard Euler.

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (dues à Cataldi en 1613), furent prises en considération par Euler et à la fin du XVIIIe siècle, elles prirent de l'importance grâce aux écrits de Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet aussi travailla sur cette théorie, ainsi que beaucoup d'autres mathématiciens qui développèrent de multiples applications.

Lambert démontra en 1761 que π n'est pas rationnel, et que l'exponentielle de tout rationnel non nul est un irrationnel. Pour cela, il montra que la tangente et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul sont des irrationnels, en les approchant par des suites de rationnels vérifiant des propriétés particulières. Plus préoccupé à conjecturer la transcendance de π et e, Lambert ne prit pas la peine de remarquer que sa méthode fournit même une démonstration de l'irrationalité de π2. Legendre le fit[14],[15], introduisant au passage les fonctions de Bessel-Clifford (en).

Époque contemporaine[modifier | modifier le code]

Définition rigoureuse des nombres réels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Construction des nombres réels.

Jusqu'au XIXe siècle l'existence et les propriétés des nombres irrationnels étaient admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet s'il est facile de définir les nombres rationnels à partir des entiers ou d'exhiber des quantités non rationnelles telles que , définir les nombres irrationnels seulement par l'impossibilité de les représenter comme des quotients de rationnels nécessite d'admettre préalablement leur existence. Ce fait est d'autant plus problématique que Cantor avait prouvé en 1874 la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels[16] alors que celui des rationnels est dénombrable : l'immense majorité des nombres réels était donc mal définie encore au début de la seconde moitié du XIXe siècle.

Deux types de construction rigoureuse des nombres réels ont été proposées dans les années 1870. Méray, puis Cantor et Heine après lui, fondent leur construction sur des propriétés analytiques des suites de rationnels[17],[18] ; les nombres réels y sont les classes d'équivalence des suites de Cauchy de rationnels par la relation d'équivalence telle que deux suites sont en relation si et seulement si leur différence converge vers . Cette approche revient intuitivement à définir les réels comme les limites de suites de Cauchy rationnelles. On rend ainsi complet l'ensemble .

L'approche de Dedekind, poursuivie par Kronecker, se fonde sur la théorie des ensembles. Un réel y est défini comme une coupure de Dedekind c'est-à-dire comme un couple d'ensembles de rationnels formant une partition de et tels que tous les éléments du premier ensemble soient plus petits que tous ceux du second[19]. Intuitivement cela revient à définir un nombre réel par les nombres rationnels qui l'encadrent : par exemple est défini par le couple. Ces deux approches sont équivalentes[20].

Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels[modifier | modifier le code]

Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant le XIXe siècle et le XXe siècle. Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que sont constructibles, mais ce n'est qu'au XIXe siècle que Wantzel caractérise l'ensemble des nombres constructibles[21], qui est le plus petit corps stable par la racine carrée contenant . Cela permet de montrer que les problème antiques de trisection de l'angle et de duplication du cube sont impossibles à l'aide de la règle et du compas seuls[N 2].

À la même période sont aussi étudiés les nombres transcendants, dont le premier exemple est exhibé par Liouville en 1844[22]. Hermite montre 30 ans plus tard en 1873 la transcendance de [23], et en 1882 Lindemann montre celle de [24]. Ce dernier résultat permet ainsi de répondre par la négative au problème de la quadrature du cercle, qui était ouvert depuis l'Antiquité grecque[N 3]. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du septième problème de Hilbert, qui demande si le nombre est transcendant dès lors que est algébrique et différent de ou et que est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider[25].

Le XXe siècle voit également l'étude des nombres univers qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des nombres normaux qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont équiprobables. Bien que Borel ait prouvé en 1909 que presque tous les nombres irrationnels soient normaux en toute base[26], on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la base 10 on peut citer la constante de Champernowne[27], qui est également transcendant[28], ou celle de Copeland-Erdős[29]. De plus il est conjecturé que les nombres (de même que tous les nombres algébriques irrationnels), et sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement[30], cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples.

Propriétés des nombres irrationnels[modifier | modifier le code]

Développement décimal[modifier | modifier le code]

La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via celle de leur développement décimal, notamment grâce au théorème suivant[31] :

Théorème — Un nombre réel est un nombre irrationnel si et seulement si son développement décimal est infini et non-périodique.

On démontre d'abord que la non-périodicité est une condition nécessaire à l'irrationalité. Considérons un nombre rationnel : supposons que l'on divise un entier par un autre, ( étant non nul) ; alors lorsque l'algorithme de division euclidienne enseigné à l'école primaire est utilisé pour diviser par , il ne peut donner que restes différents. Si n'apparaît jamais comme reste, alors l'algorithme ne peut effectuer plus de étapes sans redonner un même reste. Après cela, si un reste réapparaît, alors le développement décimal se répète. Puisque le développement décimal d'un nombre rationnel est périodique, on conclut donc par contraposée que le développement décimal d'un nombre irrationnel est nécessairement non-périodique.

Réciproquement, supposons qu'il y ait dans le développement d'un nombre des décimales récurrentes ; on peut alors démontrer que le nombre est une fraction de deux entiers, et donc un nombre rationnel. On montre la démarche sur un exemple, qui peut être généralisé à n'importe quel nombre dont le développement décimal est périodique :

Soit .

Dans ce développement, la longueur de la séquence de décimales répétées est égale à 3. Multiplions par 103 :

.

Puisque nous avons multiplié par la longueur de la période, nous avons décalé des chiffres vers la gauche par rapport à la virgule d'autant de positions.

Nous remarquons alors que les décimales de et de à partir d'une certaine position sont identiques. Ainsi dans l'écriture décimale de et de la séquence se répète à partir d'un certain rang.

Par conséquent, lorsque nous soustrayons à , les décimales de la différence deviennent nulles à partir de ce rang.

Ainsi

qui est un quotient de nombres entiers et apparaît donc comme un nombre rationnel.

Ainsi on a montré la que la condition est suffisante : si un nombre a développement décimal non périodique, alors il est irrationnel. La non-périodicité du développement décimal est donc une condition nécessaire et suffisante à l'irrationalité d'un nombre réel.

Développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fraction continue.

Les fractions continues ont des propriétés qui font qu'elles sont très utilisées dans l'étude des nombres irrationnels. Elles permettent en effet entre autres de caractériser l'irrationalité et d'identifier des types particuliers de nombres irrationnels. Elles fournissent également de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels.

Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre réel , le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément on a les deux théorèmes suivants[32] :

Théorème — Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue finie simple.

Théorème — Toute fraction continue infinie simple converge vers un nombre irrationnel et tout nombre irrationnel peut être représenté de manière unique par une fraction continue infinie simple.

Cas des irrationnels quadratiques[modifier | modifier le code]

Un nombre irrationnel est dit irrationnel quadratique s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. Par exemple le nombre est solution de l'équation du second degré  ; c'est donc un nombre irrationnel quadratique. On constate que son développement en fraction continue est périodique :

C'est en fait un résultat général :

Théorème de Lagrange[33] — Un nombre réel est un irrationnel quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique à partir d'un certain rang.

Approximation d'un irrationnel par une fraction continue[modifier | modifier le code]

Pour tout réel , le développement en fraction continue de vaut , c'est-à-dire que la suite des réduites converge vers . De plus la vitesse de convergence peut être estimée ; en effet toute réduite du développement vérifie [32].

Par exemple le début du développement en fraction continue de est :

En évaluant à partir de ce début de développement, on trouve avec une erreur inférieure à , c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes.

Développements en fraction continue d'irrationnels remarquables[modifier | modifier le code]

Mesure d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Mesure d'irrationalité.

Caractérisation des irrationnels[modifier | modifier le code]

L'ensemble des nombres rationnels est dense dans celui des réels. Par conséquent pour tout nombre réel , rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombre rationnels qui converge vers . Cependant tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la mesure d'irrationalité de n'importe quel réel . Il s'agit de la borne supérieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples d'entiers tels que et . Intuitivement on peut dire que si un réel a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel , alors à dénominateur égal il est possible d'approcher plus finement que avec un nombre rationnel.

On a en effet les deux théorèmes suivants qui permettent de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité[34],[35] :

Théorème — La mesure d'irrationalité de tout nombre rationnel est égale à 1[N 4].

Théorème — La mesure d'irrationalité de tout nombre réel irrationnel est supérieure ou égale à 2.

On peut déduire le second théorème par exemple[N 5] de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue (voir supra).

Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une série dont le terme général est rationnel et qui converge suffisamment rapidement[36].

Valeurs particulières de mesure d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Tout irrationnel a une mesure supérieure ou égale à 2, elle vaut même exactement 2 pour presque tout réel. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même connue dans plusieurs cas particuliers :

  • pour tout nombre irrationnel algébrique , on a d'après le théorème de Roth ;
  •  ;
  •  ;
  • Pour tout nombre de Liouville on a par définition .

L'ensemble des irrationnels[modifier | modifier le code]

L'ensemble ℝ\ℚ des nombres irrationnels est indénombrable (puisque l'ensemble ℝ des réels n'est pas dénombrable tandis que le sous-ensemble ℚ des rationnels l'est). Cet argument montre même que ℝ\ℚ a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ (on peut aussi le voir à l'aide de la bijection ci-dessous entre ℝ\ℚ et l'ensemble de toutes les suites d'entiers positifs).

D'ailleurs, le sous-ensemble des réels transcendants a déjà la puissance du continu (puisque l'ensemble des nombres algébriques est encore dénombrable).

Tout comme ℚ, ℝ\ℚ est dense pour l'ordre dans ℝ et a fortiori dense pour la topologie usuelle de ℝ (la topologie de l'ordre, ou celle induite par la distance associée à la valeur absolue). D'ailleurs (par la même méthode) le sous-ensemble des réels transcendants est déjà dense.

Alors que ℝ est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu.

Alors que l'espace métrique ℝ est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas. Cependant, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet ℕ, appelé l'espace de Baire : l'homéomorphisme est donné par le développement en fraction continue. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

Pour tous réels a < b, il existe un isomorphisme d'ordres entre ℚ∩]a, b[ et ℚ (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si a et b sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de ]a, b[ est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans ]a, b[ et isomorphe à ℝ\ℚ.

Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Prouver qu'un réel est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier tel que , or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel ne peut pas s'écrire sous la forme et sont inférieurs à une certaine constante , cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Ainsi on sait que la constante d'Euler-Mascheroni ne peut être écrite sous la forme d'une fraction dont le dénominateur comporte moins de 242 080 chiffres [37] mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.

Opérations sur les irrationnels[modifier | modifier le code]

Pour tous rationnels et non-nuls et pour tout irrationnel , le nombre est lui aussi irrationnel. Ainsi il suffit de montrer l'irrationalité d'un unique nombre réel pour montrer l'irrationalité d'une infinité d'entre eux. En revanche la somme ou le produit de deux nombres irrationnels peuvent être rationnels[N 6].

Utilisation de propriétés des fractions et de leurs développements décimaux[modifier | modifier le code]

Expression d'un rationnel comme fraction irréductible[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres irrationnels découverts étaient des racines carrées d'entiers, en effet on a le théorème suivant[38] :

Théorème — Soit un entier naturel qui ne soit pas un carré parfait. Alors le nombre est irrationnel.

On procède grâce à un raisonnement par l'absurde en supposant qu'il existe et non-nuls et premiers entre eux tels que , on peut de plus supposer que la fraction est irréductible sans autre hypothèse.

On écrit donc , c'est-à-dire que car n'est pas un carré parfait. Par conséquent tout facteur premier de figure dans la décomposition en produit de facteurs premiers de et donc aussi dans celle de . Plus précisément, si l'on note la valuation de dans on trouve que est un diviseur de et donc divise . Après simplification cela signifie que divise et donc figure dans la décomposition de .

Mais alors on a identifié un entier qui divise à la fois et donc ceux-ci ne sont pas premiers entre eux alors qu'on avait supposé irréductible la fraction  ; on aboutit à une contradiction. Par conséquent est irrationnel.

On peut montrer de manière analogue le résultat plus général[38] :

Théorème — Toute racine n-ième d'un entier qui n'est pas une puissance n-ième est irrationnelle.

Propriétés des racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un nombre algébrique non nul — c'est-à-dire une racine d'un polynôme à coefficients entiers avec et non nuls – est un irrationnel, il est souvent facile de le vérifier : si une fraction irréductible est solution de l'équation polynomiale , alors est un diviseur de et un diviseur de  ; il n'y a qu'un nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de , aucune racine de n'est rationnelle.

Par exemple, la racine réelle du polynôme ne fait pas partie de l'ensemble et est donc irrationnelle.

Finitude du développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Toute fraction continue infinie représente un irrationnel. La fraction continue la plus simple est celle du nombre d'or : . On retrouve ainsi[N 7] que le nombre d'or est irrationnel.

Utilisation de la non-périodicité du développement décimal[modifier | modifier le code]

Théorème — La constante de Copeland-Erdős est irrationnelle.

La constante de Copeland-Erdős est définie par est le n-ième nombre premier, et où est la partie entière de . C'est-à-dire que le développement décimal de la constante de Copeland-Erdős est la concaténation des éléments de la suite des nombres premiers.

On montre l'irrationalité de en montrant que son développement décimal n'est pas périodique, par contraposée cela implique que n'est pas rationnelle. Pour cela on procède à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.

On suppose qu'il existe un rang du développement décimal de à partir duquel celui-ci est périodique. On note la longueur de la période. On montre que cette période est constituée de fois le chiffre , ce qui implique que le développement décimal de est fini et donc qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, ce qui est contradictoire avec le théorème fondamental de l'arithmétique.

L'irrationalité de peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un nombre normal en base 10 [29]. En effet on a le théorème suivant :

Théorème — Tout nombre normal dans au moins une base est irrationnel.

Ce théorème se déduit du fait que puisque la fréquence d'apparition de tout n-uplet dans le développement décimal de tout nombre normal est équirépartie. En effet tout motif arbitraire y apparait alors une infinité de fois, ce qui n'est pas possible dans le cas d'un développement décimal périodique[N 8]. Par conséquent tout nombre normal ne peut être qu'irrationnel.

Utilisation de propriétés des entiers[modifier | modifier le code]

Application de la décomposition en produits de facteurs premiers[modifier | modifier le code]

Le nombre log10 2 est irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers a, b ≠ 0 tels que 2a = 10b ; plus généralement, logn m = ln mln n est irrationnel[N 9] pour tous entiers m, n > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers[38] (ou encore : le même radical). Par exemple : log10 15 et log2 6 sont irrationnels.

Absence d'entier entre deux entiers consécutifs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Irrationalité du nombre e.

Théorème — Le nombre e est irrationnel.

On le montre en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, que l'on évalue en 1 ; on obtient .

Ceci permet de montrer que pour tout entier b > 0, le nombre b! e est strictement compris les deux entiers consécutifs E(b! e) et b! e + 1 donc qu'il n'est pas entier, quelle que soit la valeur de b, et donc que e n'est pas rationnel.

Ce résultat n'est en fait pas optimal. On peut en effet prouver, bien que la démonstration soit plus difficile, que le nombre est transcendant[23].

Utilisation du fait que le plus petit entier naturel soit zéro[modifier | modifier le code]

Théorème — Le nombre est irrationnel.

Pour montrer l'irrationalité de on montre par l'absurde celle de , ce qui permettra de conclure concernant par contraposée de la proposition selon laquelle le produit de deux rationnels est rationnel.

On suppose que est rationnel, soit et deux entiers non-nuls tels que . On cherche à construire une expression positive faisant intervenir qui sera égale à un nombre entier tout en pouvant être majorée par des réels positifs arbitrairement petits. Ainsi on prouvera que si est rationnel alors il vaut  ; ce qui permettra de conclure car .

Ce résultat n'est cependant pas le plus général car n'est en fait pas seulement irrationnel mais également transcendant[24]; la preuve en est cependant plus difficile.

Propriétés d'approximation par des rationnels[modifier | modifier le code]

On considère l'ensemble des réels , appelés nombres de Liouville, tels que pour tout entier , il existe des entiers et tels que . Comme dit plus haut, un nombre réel non-nul est rationnel si et seulement s'il n'existe qu'un nombre fini de couple d'entiers tel que . Ce critère d'irrationalité permet donc d'établir immédiatement le résultat suivant[22] :

Théorème — Tout nombre de Liouville est irrationnel.

On considère par exemple le nombre C'est un nombre de Liouville[N 11] et il est donc irrationnel[N 12].

Il existe par ailleurs des résultats plus généraux concernant les nombres de Liouville, en effet ce sont les premiers nombres dont la transcendance ait été prouvée, et est le premier nombre de Liouville à avoir été exhibé[22].

Autres exemples[modifier | modifier le code]

Des résultats d'irrationalité sur d'autres cas particuliers ont pu être établis au cours du XXe siècle, parmi lesquels on peut citer les deux suivants :

Théorème — La constante d'Erdős-Borwein définie par la série des inverses des nombres de Mersenne[N 13] [39] est irrationnelle[40].

Théorème d'Apéry — La constante d'Apéry est irrationnelle[41].

Problèmes ouverts[modifier | modifier le code]

On ne sait pas si les nombres π + e et π – e sont ou non irrationnels. En fait, on ne connait pas de couple d'entiers non nuls m et n pour lequel il serait possible de dire si oui ou non le nombre mπ + ne est irrationnel. On conjecture cependant que l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ.

On ne sait pas plus si 2e, πe, π2, la constante de Khintchine ou la constante γ d'Euler-Mascheroni sont irrationnels.

On ignore également pour tout entier impair n > 3 si est irrationnel, étant la fonction zêta de Riemann. En effet pour les entiers positifs impairs, seul le cas de est connu grâce au théorème d'Apéry[N 14]. Cependant il a été prouvé que la fonction prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs[42] et même que l'un au moins des réels parmi , , et est irrationnel[43].

Cependant, des calculs en haute précision rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. L'existence même de nombres transcendants n'était cependant pas certaine pour les mathématiciens de l'époque.
  2. En effet la racine cubique de est non constructible, de même que alors que l'est.
  3. En effet étant transcendant, il n'est pas algébrique et donc a fortiori pas constructible
  4. Voir la section « Propriétés » de l'article « Nombre rationnel ».
  5. Voir aussi la section « Utilisations » de l'article « Théorème d'approximation de Dirichlet ».
  6. Par exemple et sont irrationnels, pourtant et .
  7. On le savait déjà : le nombre d'or vaut or est irrationnel et l'on conclut grâce au résultat relatif à l'irrationalité de la somme et du produit d'un rationnel et d'un irrationnel. On aurait aussi pu retrouver le résultat d'une troisième manière en remarquant que les coefficients extrêmes du polynôme dont le nombre d'or est racine sont et qui ne sont divisibles que par 1 qui n'est pas racine du polynôme. En vertu du paragraphe précédent, le nombre d'or est donc irrationnel.
  8. En effet supposons que le développement décimal soit périodique. On distingue deux cas. Soit la période est et est différente du n-uplet nul , auquel cas le n-uplet n'apparait pas dans le développement décimal et donc le nombre n'est pas normal. Soit la période est et dans ce cas il est clair que le nombre n'est pas normal non plus puisque son développement décimal est fini.
  9. Le théorème de Gelfond-Schneider permet alors d'en déduire que ln mln n est même transcendant.
  10. La preuve historique de l'irrationalité de par Jean-Henri Lambert suivait une tout autre démarche dont la conclusion venait de l'infinitude du développement en fraction continue de .
  11. En effet est tel que pour tout entier , on a .
  12. On aurait pu établir ce résultat en constatant la non-périodicité du développement décimal de , mais le fait qu'il soit un nombre de Liouville apporte d'avantage d'information sur lui, en particulier sa transcendance.
  13. Il s'agit ici de tous les nombres de Mersenne, qu'ils soient premiers ou composés.
  14. Les valeurs prises pour des entiers positifs pairs sont elles transcendantes et donc irrationnelles en tant que multiples rationnels de puissances de π

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Irrational number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Mark Siderits et J. Dervin O'Brien, Zeno and Nāgārjuna on Motion. Philosophy East and West, 1976.
  2. Benoit Rittaud, « Le Fabuleux destin de 2 », Gazette des mathématiciens, no  107, janvier 2006.
  3. (en) Kurt von Fritz, « The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum », Annals of Mathematics, 1945.
  4. « The only certainty about the discovery of irrationality is that Theodorus of Cyrene proved that n (for n = 3, ..., 17 and not a perfect square) is irrational. »(en) Árpád Szabó (de), The Beginnings of Greek Mathematics, Springer, (ISBN 978-90-277-0819-9, lire en ligne), p. 35, citant (de) Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft, p. 439.
  5. Szabó 1978, p. 25.
  6. J.-L. Périllié, La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini, transcription d’une conférence donnée le 16 mai 2001 à Grenoble.
  7. J.-L. Périllié, op. cit., p. 14.
  8. Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, Jamblique, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : « Hence, when late writers like Iamblichus, make ambitious claim for Pythagorean science, ..., we have occasion for scepticism », cf. (en) W. R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry, Springer, 1974, p. 5.
  9. Cette analyse est ancienne, elle provient de l'article : (de) Heinrich Vogt, « Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und andered Quellen des 4. Jahrhunderts », Bibliotheca Mathematica, no  3.10, 1909/10.
  10. Cette information est tirée de Platon, qui dans son livre Théétète indique l'existence d'une démonstration relativement générale 147D-148D.
  11. (de) Oskar Becker (en), « Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente », Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, série B, vol. 3,‎ , p. 533-553.
  12. (de) Jean Christianidis (éditeur), Árpád Szabó et al., Classics in the History of Greek Mathematics, Springer, , 461 p. (ISBN 978-1-4020-2640-9, lire en ligne), chap. 2 (« Wie ist die Mathematik zu Einer Deduktiven Wissenschaft Geworden? »)
  13. Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : Maurice Caveing, L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide, Éditions du Septentrion, 1998 (ISBN 2859395393).
  14. A. M. Legendre, Éléments de géométrie, Paris, (lire en ligne), « Note IV. Où l'on démontre que le rapport de la circonférence au diametre et son quarré, sont des nombres irrationnels ».
  15. Voir cependant (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Franz Halter-Koch et Robert F. Tichy, Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, Walter de Gruyer,‎ (lire en ligne), p. 521-530.
  16. L'article original : Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Traduction française : Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels. Pour une analyse détaillée et l'histoire de cet article, voir Premier article de Cantor sur la théorie des ensembles (en) ou Georg Cantor and Transcendental Numbers ou encore BibNum.
  17. (de) Mathematische Annalen, vol. 5[réf. incomplète].
  18. Jacqueline Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse, Ellipses, 2002.
  19. (de) L. Kronecker, « Ueber den Zahlbegriff », J. reine angew. Math., vol. 101,‎ , p. 337-355 (lire en ligne).
  20. Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan et les fondements de l'analyse, Université de Paris-Sud, Publications mathématiques d'Orsay, (lire en ligne), p. 13.
  21. « Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas », Journal de mathématiques pures et appliquées.
  22. a, b et c Liouville, « Communication », CRAS,‎ (lire en ligne) (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum.
  23. a et b C. Hermite, « Sur la fonction exponentielle », CRAS, vol. 77,‎ , p. 18-24 (lire en ligne), présenté et analysé par Michel Waldschmidt sur le site bibnum.
  24. a et b (de) F. Lindemann, « Über die Zahl π », Math. Ann., vol. 20,‎ , p. 213–225 (lire en ligne)
  25. Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107,‎ , p. 39-54 (lire en ligne)
  26. É. Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 27, 1909, p. 247-271.
  27. (en) D. G. Champernowne, « The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten », J. London Math. Soc., vol. 8, 1933, p. 254-260.
  28. Mahler 1937.
  29. a et b (en) Arthur H. Copeland et Paul Erdős, « Note on normal numbers », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 52,‎ , p. 857-860 (lire en ligne)
  30. (en) David H. Bailey et Richard Crandall, « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions », Exp. Math. (en), vol. 10, 2001, p. 175-190.
  31. a et b G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], 2007, chap. 9 (« L'écriture décimale des nombres »).
  32. a et b Hardy Wright 2007, chap. 10 (« Fractions continues »).
  33. Joseph-Louis Lagrange, Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, § II. — Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des racines des équations, 1770, rééd. Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. II, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. 593-652, plus précisément : Remarque II, p. 603-622.
  34. Hardy Wright 2007, chap. 11 (« Approximation des irrationnels par des rationnels »).
  35. (en) Yann Bugeaud, Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics » (no 193), (ISBN 978-0-521-11169-0, DOI 10.1017/CBO9781139017732, zbMATH 1260.11001), p. 246, théorème E.2.
  36. (en) Daniel Duverney, « Irrationality of Fast Converging Series of Rational Numbers », J. Math. Sci. Univ. Tokyo, vol. 8,‎ , p. 275-316 (lire en ligne).
  37. (en) Julian Havil (de), Gamma: Exploring Euler's Constant, PUP, (ISBN 0-691-09983-9)
  38. a, b, c et d Hardy Wright 2007, chap. 4.
  39. Pour plus de décimales, voir la suite A065442 de l'OEIS.
  40. (en) P. Erdős, « On arithmetical properties of Lambert series », J. Indian Math. Soc., vol. 12,‎ , p. 63–66 (lire en ligne).
  41. R. Apéry, « Irrationalité de ζ(2) et ζ(3) », Astérisque, vol. 61,‎ , p. 11-13.
  42. T. Rivoal, « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, série I. Mathématique, vol. 331,‎ , p. 267-270 (DOI 10.1016/S0764-4442(00)01624-4, lire en ligne).
  43. (en) W. Zudilin, « One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational », Russ. Math. Surv., vol. 56, no 4,‎ , p. 774-776.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Ivan Niven, Irrational Numbers, (lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Irrational Number », MathWorld