Nombre irrationnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Répartion des réels en irrationnels, rationnels, algébriques et transcendants.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres 2 (voir des démonstrations de son irrationalité).

On appelle nombres algébriques les nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire inclut tous les nombres rationnels, mais permet aussi d'exhiber de nombreux nombres irrationnels. Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. Les nombres π et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les Shulba Sutras, datés d'une période comprise entre 800 et 500 av. J.-C., constituent le plus ancien document connu de l'utilisation de nombres irrationnels. Ils mentionnent, dans le but de construire un autel aux dimensions réglementaires pour un sacrifice, le fait que les longueurs de la diagonale et du côté d'un carré sont incommensurables l'une à l'autre[1].

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique cependant avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré[2], propriété équivalente à l'irrationalité de 2. La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or[3]. Elle est encore entourée de mystère[4], mais on admet généralement qu'elle est l'œuvre d'un Pythagoricien de la première moitié du Ve siècle av. J.-C.[5]. Cette découverte ouvrit probablement une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs[6]. Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité[7]. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou[8].

La première démonstration[9] date d'avant -410 et porte probablement[10] sur l'étude de 2. Plusieurs idées de démonstration sont imaginées, l'une d'elle reposant sur le principe du pair et de l'impair[11][réf. à confirmer]. Ce principe remontant au début du Ve siècle av. J.-C., la démonstration pourrait être ancienne. D'autres démonstrations sont imaginées, à l'aide d'une descente infinie ou encore d'un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues, technique ancienne héritée des cultures de Mésopotamie[12]. Le livre X des Éléments d'Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.

Au XVIe siècle, la communauté mathématique accueillit favorablement les nombres négatifs et les fractions. Au XVIIe siècle, les mathématiciens employèrent de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentaient déjà ces nombres avec la notation moderne.

Pendant les cent années suivantes furent introduits les nombres complexes, qui devinrent un outil puissant forgé par Abraham de Moivre, et plus particulièrement aiguisé par Leonhard Euler.

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (dues à Cataldi en 1613), furent prises en considération par Euler et à la fin du XVIIIe siècle, elles prirent de l'importance grâce aux écrits de Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet aussi travailla sur cette théorie, ainsi que beaucoup d'autres mathématiciens qui développèrent de multiples applications.

Lambert démontra en 1761 que π n'est pas rationnel, et que l'exponentielle de tout rationnel non nul est un irrationnel. Pour cela, il montra que la tangente et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul sont des irrationnels, en les approchant par des suites de rationnels vérifiant des propriétés particulières. Plus préoccupé à conjecturer la transcendance de π et e, Lambert ne prit pas la peine de remarquer que sa méthode fournit même une démonstration de l'irrationalité de π2. Legendre le fit[13],[14], introduisant au passage les fonctions de Bessel-Clifford (en).

L'année 1872 vit la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève Ernst Kossak[15]), de Heine[16], de Cantor[17] et de Richard Dedekind. Méray avait pris en 1869 les mêmes points de départ que Heine, mais la naissance de cette théorie est généralement rattachée à l'année 1872. La méthode de Weierstrass fut complètement déterminée[pas clair] par Pincherle (en 1880), et celle de Dedekind reçut une importance supplémentaire par le travail ultérieur de l'auteur[Lequel ?] (en 1888) et par l'approbation plus récente de Paul Tannery (en 1894). Weierstrass, Cantor, et Heine basèrent leurs théories sur les séries infinies, pendant que Dedekind fonda la sienne sur l'idée d'une coupure (Schnitt en allemand) dans le système des nombres rationnels, partageant les nombres rationnels en deux classes caractérisées par des propriétés différentes. Ce travail fut complété plus tard par Weierstrass, Kronecker[18] et Méray.

L'histoire des nombres irrationnels se poursuit par celle des nombres transcendants.

Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité[modifier | modifier le code]

Prouver qu'un réel est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier tel que , or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel ne peut pas s'écrire sous la forme et sont inférieurs à une certaine constante , cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Ainsi on sait que la constante d'Euler-Mascheroni ne peut être écrite sous la forme d'une fraction dont le dénominateur comporte moins de 242 080 chiffres [19] mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucune preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de preuve qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.

Opérations sur les irrationnels[modifier | modifier le code]

Pour tous rationnels et non-nuls et pour tout irrationnel , le nombre est lui aussi irrationnel. Ainsi il suffit de montrer l'irrationalité d'un unique nombre réel pour montrer l'irrationalité d'une infinité d'entre eux. En revanche la somme ou le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnelle[N 1].

Utilisation de propriétés des fractions[modifier | modifier le code]

Expression d'un rationnel comme fraction irréductible[modifier | modifier le code]

Soit un entier naturel qui ne soit pas un carré parfait. On veut montrer que le nombre est irrationnel.

On procède grâce à un raisonnement par l'absurde en supposant qu'il existe et non-nuls et premiers entre eux tels que , on peut de plus supposer que la fraction est irréductible sans autre hypothèse.

On écrit donc , c'est-à-dire que car n'est pas un carré parfait. Par conséquent tout facteur premier de figure dans la décomposition en produit de facteurs premiers de et donc aussi dans celle de . Plus précisément, si l'on note la valuation de dans on trouve que est un diviseur de et donc divise . Après simplification cela signifie que divise et donc figure dans la décomposition de .

Mais alors on a identifié un entier qui divise à la fois et donc ceux-ci ne sont pas premiers entre eux alors qu'on avait supposé irréductible la fraction  ; on aboutit à une contradiction. Par conséquent est irrationnel.

On peut montrer de manière analogue que la racine n-ième d'un entier qui n'est pas une puissance n-ième est irrationnelle, et même que les seuls entiers algébriques rationnels sont les entiers (c'est un corollaire du lemme de Gauss).

Liens entre coefficients d'un polynôme et ses éventuelles racines rationnelles[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un nombre algébrique non nul — c'est-à-dire une racine d'un polynôme à coefficients entiers avec et non nuls – est un irrationnel, il est souvent facile de le vérifier : si une fraction irréductible est solution de l'équation polynomiale , alors est un diviseur de et un diviseur de  ; il n'y a qu'un nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de , aucune racine de n'est rationnelle. Par exemple, la racine réelle du polynôme est différente de ±1 donc irrationnelle.

Finitude du développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

Toute fraction continue infinie représente un irrationnel. La fraction continue la plus simple est celle du nombre d'or : . On retrouve ainsi[N 2] que le nombre d'or est irrationnel.

Utilisation de propriétés des entiers[modifier | modifier le code]

Utilisation de la décomposition en produits de facteurs premiers[modifier | modifier le code]

Le nombre log10 2 est irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers a, b ≠ 0 tels que 2a = 10b ; plus généralement, logn m = ln mln n est irrationnel[20] pour tous entiers m, n > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers[21] (ou encore : le même radical). Par exemple : log10 15 et log2 6 sont irrationnels.

Absence d'entier entre deux entiers consécutifs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Irrationalité du nombre e.

On montre que e est irrationnel. On utilise pour cela le développement en série entière de la fonction exponentielle, que l'on évalue en 1 ; on obtient .

Ceci permet de montrer que pour tout entier b > 0, le nombre b! e est strictement compris entre deux entiers consécutifs donc qu'il n'est pas entier, quelle que soit la valeur de b, et donc que e n'est pas rationnel.

Utilisation du fait que le plus petit entier naturel soit zéro[modifier | modifier le code]

On veut montrer l'irrationalité de . Pour cela on montre par l'absurde celle de , ce qui permettra de conclure concernant par contraposée de la proposition selon laquelle le produit de deux rationnels est rationnel.

On suppose que est rationnel, soit et deux entiers non-nuls tels que . On cherche à construire une expression positive faisant intervenir qui sera égale à un nombre entier tout en pouvant être majorée par des réels positifs arbitrairement petits. Ainsi on prouvera que si est rationnel alors il vaut [22] ; ce qui permettra de conclure car .

Utilisation de critères d'irrationalité d'une limite de suite liés à la vitesse de convergence[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Apéry.

On peut montrer l'irrationalité de la constante d'Apéry par un tel argument.

Approximation par les rationnels[modifier | modifier le code]

Développements décimaux[modifier | modifier le code]

Le développement décimal d'un nombre irrationnel ne se répète jamais et ne se termine jamais. Le développement décimal d'un nombre rationnel se finit ou se répète.

Pour le démontrer, considérons un nombre rationnel : supposons que l'on divise un entier n par un autre, m (m étant non nul) ; alors lorsque l'algorithme de division euclidienne enseigné à l'école primaire est utilisé pour diviser n par m, il ne peut donner que m restes différents. Si 0 n'apparaît jamais comme reste, alors l'algorithme ne peut effectuer plus de m – 1 étapes sans redonner un même reste. Après cela, si un reste réapparaît, alors le développement décimal se répète.

Inversement, supposons qu'il y ait dans le développement d'un nombre des décimales récurrentes ; on peut alors démontrer que le nombre est une fraction de deux entiers. Par exemple :

Dans ce développement, la longueur de la séquence de décimales répétées est égale à 3. Multiplions par 103 :

Puisque nous avons multiplié par 103 la longueur de la période, nous avons décalé des chiffres vers la gauche par rapport à la virgule d'autant de positions.

Nous remarquons alors que les décimales de 1000A et de A à partir d'une certaine position sont identiques. Ainsi dans l'écriture décimale de 1000A et de A la séquence 162 se répète à partir d'un certain rang.

Par conséquent, lorsque nous soustrayons A à 1000A, les décimales de la différence deviennent nulles à partir de ce rang.

Ainsi

qui est un quotient de nombres entiers et apparaît donc comme un nombre rationnel.

Problèmes ouverts[modifier | modifier le code]

On ne sait pas si les nombres π + e et π – e sont ou non irrationnels. En fait, on ne connait pas de couple d'entiers non nuls m et n pour lequel il serait possible de dire si oui ou non le nombre mπ + ne est irrationnel. On conjecture cependant que l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ.

On ne sait pas plus si 2e, πe, π2 ou la constante d'Euler-Mascheroni γ sont irrationnels.

On ignore également pour tout entier impair n > 3 si est irrationnel, étant la fonction zêta de Riemann. Seul le cas de est connu grâce au théorème d'Apéry, cependant il a été prouvé que la fonction prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs[24] et même que l'un au moins des réels parmi , , et est irrationnel[25].

Cependant, des calculs en haute précision (voir l'article Mathématiques expérimentales) rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

L'ensemble des irrationnels[modifier | modifier le code]

L'ensemble ℝ\ℚ des nombres irrationnels est indénombrable (puisque l'ensemble ℝ des réels n'est pas dénombrable tandis que le sous-ensemble ℚ des rationnels l'est). Cet argument montre même que ℝ\ℚ a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ (on peut aussi le voir à l'aide de la bijection ci-dessous entre ℝ\ℚ et l'ensemble de toutes les suites d'entiers positifs).

D'ailleurs, le sous-ensemble des réels transcendants a déjà la puissance du continu (puisque l'ensemble des nombres algébriques est encore dénombrable).

Tout comme ℚ, ℝ\ℚ est dense pour l'ordre dans ℝ et a fortiori dense pour la topologie usuelle de ℝ (la topologie de l'ordre, ou celle induite par la distance associée à la valeur absolue). D'ailleurs (par la même méthode) le sous-ensemble des réels transcendants est déjà dense.

Alors que ℝ est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu.

Alors que l'espace métrique ℝ est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas. Cependant, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet ℕ, appelé l'espace de Baire : l'homéomorphisme est donné par le développement en fraction continue. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

Pour tous réels a < b, il existe un isomorphisme d'ordres entre ℚ∩]a, b[ et ℚ (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si a et b sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de ]a, b[ est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans ]a, b[ et isomorphe à ℝ\ℚ.


Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple et vérifient et
  2. On le savait déjà : le nombre d'or vaut or est irrationnel et l'on conclut grâce au résultat relatif à l'irrationalité de la somme et du produit d'un rationnel et d'un irrationnel. On aurait aussi pu retrouver le résultat d'une troisième manière en remarquant que les coefficients extrêmes du polynôme dont le nombre d'or est racine sont et qui ne sont divisibles que par 1 qui n'est pas racine du polynôme. En vertu du paragraphe précédent, le nombre d'or est donc irrationnel.
  3. La preuve historique de l'irrationalité de par Jean-Henri Lambert suivait une tout autre démarche dont la conclusion venait de l'infinitude du développement en fraction continue de .

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Irrational number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Mark Siderits et J. Dervin O'Brien, Zeno and Nāgārjuna on Motion. Philosophy East and West, 1976.
  2. Benoit Rittaud, « Le Fabuleux destin de 2 », Gazette des mathématiciens, no  107, janvier 2006.
  3. (en) Kurt von Fritz, « The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum », Annals of Mathematics, 1945.
  4. « The only certainty about the discovery of irrationality is that Theodorus of Cyrene proved that n (for n = 3, ..., 17 and not a perfect square) is irrational. »(en) Árpád Szabó (de), The Beginnings of Greek Mathematics, Springer, (ISBN 978-90-277-0819-9, lire en ligne), p. 35, citant (de) Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft, p. 439.
  5. Szabó 1978, p. 25.
  6. J.-L. Périllié, La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini, transcription d’une conférence donnée le 16 mai 2001 à Grenoble.
  7. J.-L. Périllié, op. cit., p. 14.
  8. Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, Jamblique, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : « Hence, when late writers like Iamblichus, make ambitious claim for Pythagorean science, ..., we have occasion for scepticism », cf. (en) W. R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry, Springer, 1974, p. 5.
  9. Cette analyse est ancienne, elle provient de l'article : (de) Heinrich Vogt, « Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und andered Quellen des 4. Jahrhunderts », Bibliotheca Mathematica, no  3.10, 1909/10.
  10. Cette information est tirée de Platon, qui dans son livre Théétète indique l'existence d'une démonstration relativement générale 147D-148D.
  11. (de) Oskar Becker (en), « Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente », Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, série B, vol. 3,‎ , p. 533-553.
  12. Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : Maurice Caveing, L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide, Éditions du Septentrion, 1998 (ISBN 2859395393).
  13. A. M. Legendre, Éléments de géométrie, Paris, (lire en ligne), « Note IV. Où l'on démontre que le rapport de la circonférence au diametre et son quarré, sont des nombres irrationnels ».
  14. Voir cependant (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Franz Halter-Koch et Robert F. Tichy, Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, Walter de Gruyer,‎ (lire en ligne), p. 521-530.
  15. (en) J. Christopher Tweddle, « Weierstrass's construction of the irrational numbers », Mathematische Semesterberichte, vol. 58, no 1,‎ , p. 47-58 (DOI 10.1007/s00591-010-0082-6, lire en ligne).
  16. (de) E. Heine, « Die Elemente der Functionenlehre », J. reine angew. Math., vol. 74,‎ , p. 172-188 (lire en ligne).
  17. (de) Mathematische Annalen, vol. 5[réf. incomplète].
  18. (de) L. Kronecker, « Ueber den Zahlbegriff », J. reine angew. Math., vol. 101,‎ , p. 337-355 (lire en ligne).
  19. (en) Julian Havil (de), Gamma: Exploring Euler's Constant, PUP, (ISBN 0-691-09983-9)
  20. Le théorème de Gelfond-Schneider permet alors d'en déduire que ln mln n est même transcendant.
  21. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, (ISBN 978-2-7117-7168-4), p. 55-56.
  22. G.H. Hardy et E.M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert - Springer, (1re éd. 1938), 569 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-7117-7168-4, lire en ligne). , chapitre 4
  23. (en) Daniel Duverney, « Irrationality of Fast Converging Series of Rational Numbers », J. Math. Sci. Univ. Tokyo, vol. 8,‎ , p. 275–316 (lire en ligne).
  24. T. Rivoal, « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, série I. Mathématique, vol. 331,‎ , p. 267-270 (DOI 10.1016/S0764-4442(00)01624-4, lire en ligne).
  25. (en) W. Zudilin, « One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational », Russ. Math. Surv., vol. 56, no 4,‎ , p. 774-776.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Ivan Niven, Irrational Numbers, (lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Irrational Number », MathWorld