Inverse

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

En mathématiques, l'inverse d'un élément x (s'il existe) est l'élément qui, multiplié par x, donne un. On le note x−1 ou .

Par exemple, dans , l'inverse de est , puisque .

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un monoïde, c.-à-d. un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, qu'on note , et d'un élément neutre pour noté .

Un élément est dit inversible s'il existe un élément tel que .

Le tel , qui est alors unique, est appelé inverse de , et est noté .

En résumé : l'inverse est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée multiplicativement.

Principaux cas[modifier | modifier le code]

Le plus souvent, quand on parle d'éléments inversibles, on se place dans un groupe ou dans un anneau.

Groupe[modifier | modifier le code]

Dans un groupe , la loi de composition interne considérée est et par définition tous les éléments de sont inversibles.

Anneau (ou corps)[modifier | modifier le code]

Dans un anneau , la loi de composition interne considérée est et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles.

Les éléments inversibles de l'anneau forment un groupe pour la multiplication de l'anneau, appelé groupe des inversibles de cet anneau, et souvent noté U(A) ou A×.

Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi (souvent noté ), est par définition un corps.

Exemples[modifier | modifier le code]

Anneaux et corps[modifier | modifier le code]

  • Dans l'anneau des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement.
  • Dans le corps des nombres réels et dans le corps des rationnels, l'inverse de 2 est 12 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
  • Dans le corps des nombres complexes, l'inverse de l'unité imaginaire i est –i car i × (–i) = 1. Plus généralement, l'inverse d'un nombre complexe non nul est le nombre
  • Dans le corps des quaternions, l'inverse d'un quaternion non nul est le quaternion , où est le conjugué quaternionique de q, soit . Attention, la multiplication des quaternions n'est pas commutative.
  • Dans l'anneau (ℤ/nℤ, +, ×), où n ≥ 2, les inversibles sont exactement les éléments tels que PGCD. En particulier, si n est premier, alors cet anneau est un corps. Par exemple, dans l'anneau ℤ/10ℤ, l'inverse de 3 est 7 (car 3 × 7 = 21 est congru à 1 modulo 10), mais 2 n'a pas d'inverse.
  • Dans l'anneau des matrices carrées réelles, où n est un naturel fixé, l'ensemble des inversibles est noté . Par exemple, dans l'anneau des matrices 2×2, la matricea pour matrice inversecar A×B est égal à la matrice identité d'ordre 2.

Autres[modifier | modifier le code]

Dans le monoïde (pour la composition) des applications d'un ensemble fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les injections et celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections. Il en est de même dans l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel.

Remarques[modifier | modifier le code]

Attention, lorsque f est à la fois une fonction numérique et une bijection, à ne pas confondre son inverse avec sa bijection réciproque f −1 :

.

Exemple pour  : .

Somme infinies d'inverses et propriétés intéressantes[modifier | modifier le code]

(série harmonique).

(série harmonique alternée).

, et plus généralement, la fonction zêta de Riemann , où est la valeur absolue du nombre de Bernoulli.

Seuls deux nombres complexes sont opposés à leur inverse (soit ) : i et –i (car ce sont les solutions de ).

Diviser par un nombre b revient à multiplier par l'inverse de b, .