Escalier de Cantor

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L'escalier de Cantor, ou l'escalier du diable, est le graphe d'une fonction f continue croissante sur [0, 1], telle que f(0) = 0 et f(1) = 1, qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle.

Quelques rappels d'analyse élémentaire[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ ℝ, de dérivée f '. Si f ' est nulle sur I, alors f est constante. C'est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.

L'escalier de Cantor montre que la conclusion est fausse si l'on suppose seulement que f ' s'annule presque partout.

On dispose cependant des résultats suivants :

Construction[modifier | modifier le code]

Escalier de Cantor.

On suit pas à pas la construction de l'ensemble de Cantor K3.

On prend f0(x) = x. La fonction f1 est la fonction continue affine par morceaux qui vaut 0 en 0, 1 en 1, et 1/2 sur [1/3, 2/3].

On passe de même de fn à fn+1 en remplaçant fn, sur chaque intervalle [u, v] où elle n'est pas constante, par la fonction continue affine par morceaux qui vaut sur le tiers central de l'intervalle [u, v].

Alors on vérifie que pour tout , ce qui montre que la série de fonctions converge uniformément, et donc que la suite fn converge uniformément. La fonction limite f est continue, monotone, et l'on a f(0) = 0 et f(1) = 1 comme annoncé. De plus, f a une dérivée nulle sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor K3, puisque ce complémentaire est une réunion d'intervalles sur lesquels f, par construction, est constante (d'où le nom d'escalier !)

Que nous apprend cet exemple ?[modifier | modifier le code]

  • Il est vrai (cf. « Généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse ») que si f est une fonction mesurable bornée sur ℝ, la fonction est presque partout dérivable et de dérivée f. Mais il est faux que toute fonction presque partout dérivable soit égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dernière est intégrable. C'est ce que nous enseigne l'escalier de Cantor. Pour avoir des résultats satisfaisants sur cette question, il faut introduire la notion de continuité absolue (cf. « Second théorème fondamental de l'analyse »).
  • L'escalier de Cantor est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle de loi diffuse, la loi de Cantor, qui n'est pas à densité et qui est même étrangère à la mesure de Lebesgue. En cela aussi, c'est un (contre-)exemple intéressant. On peut exhiber simplement une variable aléatoire réelle X prise au hasard entre 0 et 1 dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor : il suffit de tirer au hasard les chiffres successifs (0, 1 ou 2) du développement en base trois de X de manière un peu spéciale, à savoir par des tirages indépendants équiprobables restreints à 0 ou 2, le chiffre 1 étant exclu.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonction point d'interrogation

Lien externe[modifier | modifier le code]

Escalier du diable sur mathcurve.com