Fonction homogène

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En mathématique, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l’argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.


Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si


\forall k \in K,\quad
\forall x \in E:\qquad
f(kx)=k^\alpha f(x).

Si K est le corps ℝ des nombres réels, on dit que f est positivement homogène de degré α si


\forall t\ge0,\quad
\forall x\in E:\qquad
f(tx)=t^\alpha f(x).

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété[modifier | modifier le code]

Une fonction différentiable de ℝn dans ℝm est positivement homogène si et seulement si elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonction de Cobb-Douglas

Lien externe[modifier | modifier le code]

Cours sur les fonctions homogènes