Équations de Hamilton-Jacobi

En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques

Une transformation canonique est une transformation $(\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~,~ H(\vec q,\vec p) \rightarrow K(\vec Q, \vec P)$ de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :

$\dot \vec q = \frac{\partial H}{\partial \vec p}~~\rightarrow ~~ \dot \vec Q = \frac{\partial K}{\partial \vec P}$

$\dot \vec p = -\frac{\partial H}{\partial \vec q}~~\rightarrow ~~ \dot \vec P = -\frac{\partial K}{\partial \vec Q}$

(On note $\frac{\partial }{\partial \vec x} = \vec \nabla _{\vec x}=\sum_{i=1}^N \frac{\partial }{\partial x_i} \vec e _i$ où $\vec x = \sum_{i=1}^N x_i \vec e _i$)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

$\{ Q_\alpha , P_\beta \}=\delta_{\alpha \beta}~$

$\{Q_\alpha , Q_\beta\}=0~$

$\{P_\alpha , P_\beta\}=0 ~$

Fonctions génératrices

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

$S[\vec q,\vec p]=\int dt~ L(\vec q,\dot \vec q,t)=\int dt~ (\vec p \cdot \dot \vec q - H(\vec q,\vec p,t)) = \int dt ~ f(\dot \vec q,\vec q,\vec p,t)$

Or les équations canoniques vérifiées par $H(\vec q, \vec p)~$ impliquent que f vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

$\frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot \vec q} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec q}=\frac {d}{dt} \left( \vec p \right) + \frac{\partial H}{\partial \vec q}= \dot \vec p - \dot \vec p =\vec 0$

$\frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot \vec p} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec p}=\frac {d}{dt} \left( \vec 0 \right)- \left( \dot \vec q - \frac{\partial H}{\partial \vec p} \right)= -\dot \vec q + \dot \vec q =\vec 0$

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si $H(\vec q, \vec p)~$ vérifie les équations canoniques, et de même pour $K(\vec Q, \vec P)~$. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

$\delta \left( \int dt~(\vec p \cdot \dot \vec q - H)\right) = 0$

$\delta \left( \int dt~(\vec P \cdot \dot \vec Q - K)\right) = 0$

d'où la condition dite d'invariance :

$(\vec p \cdot \dot \vec q - H) - (\vec P \cdot \dot \vec Q - K) = \frac{dF}{dt}(\vec q,\vec p,\vec Q,\vec P,t)$

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation $(\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~,~ H(\vec q,\vec p) \rightarrow K(\vec Q, \vec P)$.

Fonction principale de Hamilton, Equation de Hamilton-Jacobi

On note N le nombre de degrés de liberté du système, $(\vec q,\vec p,\vec Q,\vec P) ~$ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation $(\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~$. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables $(\vec q,\vec P) ~$, on a une fonction génératrice $S(\vec q,\vec P)~$ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de $(\vec q,\vec P) ~$, il faut effectuer une transformation de Legendre à F : $S(\vec q,\vec P)=F+\vec Q \cdot \vec P$

On a alors $\frac{dS}{dt}=\frac{dF}{dt}+\dot \vec Q \cdot \vec P + \vec Q \cdot \dot \vec P =\frac{\partial S}{\partial \vec q}\cdot \dot\vec q + \frac{\partial S}{\partial \vec P} \cdot \dot \vec P + \frac{\partial S}{\partial t}$

et la condition d'invariance devient

$\left( \vec p -\frac{\partial S}{\partial \vec q}\right) \cdot \dot \vec q + \left( \vec Q -\frac{\partial S}{\partial \vec P} \right)\cdot \dot \vec P +\left( -H +K -\frac{\partial S}{\partial t} \right) = 0$

On a choisi $(\vec q,\vec P)~$ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et on obtient :

$\vec p -\frac{\partial S}{\partial \vec q}=\vec 0$

$\vec Q -\frac{\partial S}{\partial \vec P}=\vec 0$

$-H +K -\frac{\partial S}{\partial t}= 0$

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation $(\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~$ à partir de la donnée de la fonction $S(\vec q, \vec P) ~$, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

$H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q},t) +\frac{\partial S}{\partial t}= K$

Application

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement, par exemple en imposant K=0 on a simplement $\dot \vec Q =\vec 0$ et $\dot \vec P =\vec 0$, soit $\vec Q$ et $\vec P$ constants. Il reste alors a déterminer $(\vec Q (\vec q,\vec p),\vec P (\vec q,\vec p))$ pour obtenir la solution $(\vec q (t),\vec p (t))$, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

$H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q},t) +\frac{\partial S}{\partial t}= 0$

Remarque

Dans ce cas, la condition d'invariance devient $\vec p \cdot \dot \vec q-H=\frac{dS}{dt}~~\Rightarrow~~S=\int L~dt$, la fonction génératrice S est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique $H(\vec q,\vec p,t)=\frac{\vec p ^2}{2m}+V(\vec q,\vec p,t)$, on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

$\frac{\partial S}{\partial t}=-H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q})=-E=constante$

d'où

$S=S_0(\vec q, \vec p)-Et ~$

et l'équation à résoudre est simplifiée :

$H(\vec q,\frac{\partial S_0}{\partial \vec q}) -E= 0$

Voir aussi

Articles connexes

• mécanique hamiltonienne
• transformation canonique