Équations de Hamilton-Jacobi

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En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques[modifier | modifier le code]

Une transformation canonique est une transformation   (\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~,~  H(\vec q,\vec p) \rightarrow K(\vec Q, \vec P)  de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :

 \dot{\vec q} = \frac{\partial H}{\partial \vec p}~~\rightarrow ~~ \dot{\vec Q} = \frac{\partial K}{\partial \vec P}  ;

 \dot{\vec p} = -\frac{\partial H}{\partial \vec q}~~\rightarrow ~~ \dot{\vec P} = -\frac{\partial K}{\partial \vec Q} .

(On note  \frac{\partial }{\partial \vec x} = \vec \nabla _{\vec x}=\sum_{i=1}^N  \frac{\partial }{\partial x_i} \vec e _i   \vec x = \sum_{i=1}^N x_i \vec e _i .)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

 \{ Q_\alpha , P_\beta \}=\delta_{\alpha \beta}~

 \{Q_\alpha , Q_\beta\}=0~

 \{P_\alpha , P_\beta\}=0 ~

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

 S[\vec q,\vec p]=\int dt~ L(\vec q,\dot{\vec q},t)=\int dt~ (\vec p \cdot \dot{\vec q} - H(\vec q,\vec p,t)) = \int dt ~ f(\dot{\vec q},\vec q,\vec p,t).

Or les équations canoniques vérifiées par  H(\vec q, \vec p)~ impliquent que f vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

 \frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{\vec q}} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec q}=\frac {d}{dt} \left( \vec p \right) + \frac{\partial H}{\partial \vec q}= \dot{\vec p} - \dot{\vec p} =\vec 0  ;

 \frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{\vec p}} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec p}=\frac {d}{dt} \left( \vec 0 \right)- \left( \dot{\vec q} - \frac{\partial H}{\partial \vec p} \right)= -\dot{\vec q} + \dot{\vec q} =\vec 0 .

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si  H(\vec q, \vec p)~ vérifie les équations canoniques, et de même pour  K(\vec Q, \vec P)~. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

 \delta \left( \int dt~(\vec p \cdot \dot{\vec q} - H)\right) = 0

 \delta \left( \int dt~(\vec P \cdot \dot{\vec Q} - K)\right) = 0

d'où la condition dite d'invariance :

 (\vec p \cdot \dot{\vec q} - H) - (\vec P \cdot \dot{\vec Q} - K) = \frac{dF}{dt}(\vec q,\vec p,\vec Q,\vec P,t) .

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation   (\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~,~  H(\vec q,\vec p) \rightarrow K(\vec Q, \vec P)  .

Fonction principale de Hamilton, Equation de Hamilton-Jacobi[modifier | modifier le code]

On note N le nombre de degrés de liberté du système,  (\vec q,\vec p,\vec Q,\vec P) ~ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation   (\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables  (\vec q,\vec P) ~, on a une fonction génératrice  S(\vec q,\vec P)~ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de  (\vec q,\vec P) ~, il faut effectuer une transformation de Legendre à F :  S(\vec q,\vec P)=F+\vec Q \cdot \vec P .

On a alors  \frac{dS}{dt}=\frac{dF}{dt}+\dot{\vec Q} \cdot \vec P + \vec Q \cdot \dot{\vec P} =\frac{\partial S}{\partial \vec q}\cdot \dot{\vec q} + \frac{\partial S}{\partial \vec P} \cdot \dot{\vec P} + \frac{\partial S}{\partial t}

et la condition d'invariance devient

 \left( \vec p -\frac{\partial S}{\partial \vec q}\right) \cdot \dot{\vec q}  + \left( \vec Q -\frac{\partial S}{\partial \vec P} \right)\cdot \dot{\vec P}  +\left( -H +K -\frac{\partial S}{\partial t} \right) = 0 .

On a choisi  (\vec q,\vec P)~ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et on obtient :

 \vec p -\frac{\partial S}{\partial \vec q}=\vec 0  ;

 \vec Q -\frac{\partial S}{\partial \vec P}=\vec 0  ;

 -H +K -\frac{\partial S}{\partial t}= 0 .

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation   (\vec q , \vec p ) \rightarrow (\vec Q , \vec P)~ à partir de la donnée de la fonction  S(\vec q, \vec P) ~, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

 H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q},t) +\frac{\partial S}{\partial t}= K

Application[modifier | modifier le code]

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement, par exemple en imposant K=0 on a simplement  \dot{\vec Q} =\vec 0 et  \dot{\vec P} =\vec 0 , soit  \vec Q  et  \vec P  constants. Il reste alors a déterminer  (\vec Q (\vec q,\vec p),\vec P (\vec q,\vec p)) pour obtenir la solution  (\vec q (t),\vec p (t)), or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

 H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q},t) +\frac{\partial S}{\partial t}= 0 .

Remarque

Dans ce cas, la condition d'invariance devient \vec p \cdot \dot{\vec q}-H=\frac{dS}{dt}~~\Rightarrow~~S=\int L~dt, la fonction génératrice S est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique  H(\vec q,\vec p,t)=\frac{\vec p ^2}{2m}+V(\vec q,\vec p,t) , on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

 \frac{\partial S}{\partial t}=-H(\vec q,\frac{\partial S}{\partial \vec q})=-E=constante

d'où

 S=S_0(\vec q, \vec p)-Et ~

et l'équation à résoudre est simplifiée :

 H(\vec q,\frac{\partial S_0}{\partial \vec q}) -E= 0 .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]