Théorème de Hopf-Rinow

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Soit ( M,g) une variété riemannienne connexe. Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • Il existe un point dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur  T_mM.


En outre, dans cette situation, deux points quelconques a et b de M peuvent être reliés par une géodésique de longueur d(a,b). En particulier, l'application exponentielle (quelle que soit son origine) est surjective.



Le théorème porte les noms de Heinz Hopf et de son étudiant Willi Rinow (de) (1907–1979).

Il admet une version plus générale dans le cadre des espaces de longueur.


Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le théorème de Hopf-Rinow entraine que toutes les variétés riemaniennes compactes, connexes sont géodésiquement complètes. Par exemple, la sphère est géodésiquement complète.
  • L'espace euclidien \R^n et les espaces hyperboliques sont géodésiquement complets.
  • L'espace métrique M := \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} avec la métrique euclidienne induite n'est pas géodésiquement complet. Si on choisit en effet un point p = (x_1,x_2) \in M, il n'existe pas dans M de plus court chemin qui le relie au point symétrique q = (-x_1, -x_2). L'espace métrique M n'est d'ailleurs pas complet : il suffit de considérer une suite de points qui admet comme limite dans \mathbb{R}^2 le point \{0\}.

Application aux groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe de Lie muni d'une métrique riemannienne bi-invariante (une telle métrique existe toujours si G est compact. L'expontielle en l'élément neutre associée à une telle métrique coïncide avec l'exponentielle au sens de la théorie des groupes de Lie. En particulier, les géodésiques passant par l'élément neutre s'identifient aus sous-groupes à un paramètre. Par conséquent

  • pour tout groupe de Lie compact G, l'application

\exp : \mathfrak{G}\rightarrow G

est surjective.

  • le groupe de Lie Sl(2, \mathbf{R}) n'admet aucune métrique riemannienne bi-invariante

(puisque l'exponentielle n'est pas surjective, prendre par exemple  - I).