Théorème de Hopf-Rinow

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Soit ( $M$,g) une variété riemannienne connexe. Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :

• Pour tout point m dans $M$, l'application exponentielle d'origine m est définie sur $T_mM$.
• La variété ($M$,g) est géodésiquement complète, ie : les géodésiques sont définies sur $\mathbb{R}$.
• L'espace $M$ est complet pour la distance riemannienne.
• Les boules fermées et bornées sont compactes.

Le théorème porte les noms de Heinz Hopf et de son étudiant Willi Rinow (de) (1907–1979).

Exemples

• Le théorème de Hopf-Rinow entraine que toutes les variétés riemaniennes compactes, connexes sont géodésiquement complètes. Par exemple, la sphère est géodésiquement complète.
• L'espace euclidien $\R^n$ et les espaces hyperboliques sont géodésiquement complets.
• L'espace métrique $M := \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ avec la métrique euclidienne induite n'est pas géodésiquement complet. Si on choisit en effet un point $p = (x_1,x_2) \in M$, il n'existe pas dans $M$ de plus court chemin qui le relie au point symétrique $q = (-x_1, -x_2)$. L'espace métrique $M$ n'est d'ailleurs pas complet : il suffit de considérer une suite de points qui admet comme limite dans $\mathbb{R}^2$ le point $\{0\}$.