Lemme fondamental du calcul des variations

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Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Friedrich Ludwig Stegmann l'a énoncé en 1854 et justifié par un argument très succinct et incorrect[1] ; auparavant, Joseph-Louis Lagrange l'avait tenu pour allant de soi[2] et ses successeurs jusqu'à Stegmann l'auraient fait de même[3],[4]. Des démonstrations correctes ont été obtenues par Eduard Heine en 1870[5] et Paul David Gustave Du Bois-Reymond en 1879[6]. Des généralisations très importantes de ce lemme ont été réalisées : par Du Bois-Reymond, en 1879 également[7] (lemme de Du Bois-Reymond) ; et par Alfréd Haar, entre 1926 et 1929 (lemme de Haar)[8],[9]. Ces différents lemmes et leurs applications sont présentés dans ce qui suit.

Cas usuel du lemme fondamental du calcul des variations[modifier | modifier le code]

Rappelons qu'une fonction est dite de classe {}^{C^k} si elle est k-fois continuement dérivable. Par exemple la classe {}^{C^0} est constituée des fonctions continues, et la classe {}^{C^\infty} est constituée des fonctions indéfiniment dérivables.

Le lemme fondamental du calcul des variations, dans sa version usuelle, s'exprime comme suit :

Lemme fondamental du calcul des variations (cas d'une intégrale simple et d'une fonction réelle) — Soit f une fonction réelle continue sur l'intervalle [a,b] telle que

 \int_a^b f(t) \, h(t)~\mathrm dt = 0

pour toute fonction h de classe {}^{C^1} sur [a,b] avec h(a)=h(b)=0. . Alors f est identiquement nulle sur l'intervalle [a, b].

Généralisation au cas des intégrales multiples[modifier | modifier le code]

Lemme fondamental du calcul des variations (cas vectoriel avec intégrale multiple) — Soit R un sous-ensemble fermé de \mathbb R^n, d'intérieur non vide, \mathbf X un espace vectoriel normé (non nécessairement complet), \mathbf X^\prime son dual topologique, et f: R \rightarrow \mathbf X^\prime une fonction continue. Supposons que qu'il existe un entier k\ge 1 tel que

\int_{R}\left\langle f\left( x\right) ,h\left( x\right) \right\rangle dx=0

(où dx est la mesure de Lebesgue) pour toute fonction h: R \rightarrow \mathbf X de classe {}^{C^k}, nulle sur la frontière \partial R de R. Alors f est nulle dans R.

Remarque sur le lemme fondamental du calcul des variations[modifier | modifier le code]

(1) Sous sa forme donnée ici, le lemme fondamental du calcul des variations permet d'obtenir l'équation d'Ostrodradski du calcul des variations (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange).

(2) Le résultat de ce lemme reste vrai pour f seulement localement intégrable dans un ensemble ouvert non vide U \supset R de {}^{\R^n}, à valeurs réelles ou complexes (ou à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie réel ou complexe), en considérant les fonctions h continues à support compact (resp. de classe C∞ à support compact) dans U : la conclusion est changée en « f est nulle presque partout »[11]. Ce point est fondamental en théorie de la mesure (resp. des distributions). Il montre en effet que si T_f désigne la mesure de Radon (resp. la distribution) définie par une fonction localement intégrable f, l'égalité T_f=0 équivaut à f=0 presque partout. Par passage au quotient, si \bar{f} désigne la classe de Lebesgue de f, l'application linéaire \bar{f}\mapsto T_f (qui est bien définie) est injective, et on peut donc plonger L^1_{loc}(U) (espace des classes de Lebesgue des fonctions localement intégrables dans U) dans l'espace des mesures de Radon dans U (resp. dans l'espace \mathcal D^\prime(U) des distributions dans U)[12].

Lemme de Du Bois-Reymond[modifier | modifier le code]

Le lemme de Du Bois-Reymond généralise le Lemme fondamental du calcul des variations dans le « cas usuel ».

Lemme de Du Bois-Reymond — Soit \mathbf X un espace vectoriel normé (non nécessairement complet), f:t\mapsto f(t) et g:t\mapsto g(t) des fonctions continues sur un intervalle [a,b] à valeurs dans le dual topologique \mathbf X^\prime. Si

\int_{a}^{b}\left( \left\langle f\left( t\right) ,\dot{h}\left( t\right)
\right\rangle +\left\langle g\left( t\right) ,h\left( t\right) \right\rangle
\right) dt=0

pour toute fonction h \in C^1([a,b],\mathbf X) telle que h(a)=h(b)=0, alors f est de classe C^1 et df/dt=g.

Remarque sur le lemme de Du Bois-Reymond[modifier | modifier le code]

(1) En faisant f=0, on retrouve le Lemme fondamental du calcul des variations.

(2) Une intégration par parties permet de se ramener au cas où g=0. Le lemme de Du Bois-Reymond a originellement été énoncé dans le cas \mathbf X = \R de la manière suivante : soit f continue sur [a,b ], et supposons vérifiée l'égalité

\int_{a}^{b} f\left( t\right)\dot{h}\left( t\right) dt=0

pour toute fonction h de classe C^1 sur [a,b ], vérifiant h(a)=h(b)=0 ; alors f=C^{te}. La formulation encadrée est due (dans le cas \mathbf X = \R) à Andrei Mikhailovich Razmadze (ru)[13]

Application du lemme de Du Bois-Reymond au calcul des variations[modifier | modifier le code]

Soit \Omega_1, \Omega_2 des ouverts non vides dans un espace vectoriel normé \mathbf X, et

\mathcal L: [a,b]\times \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb R: (t,x,u) \mapsto \mathcal L(t,x,u)

une fonction de classe C^1 telle que \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u} est également de classe C^1. Soit la fonctionnelle

J\left( x\right) =\int_{a}^{b}\mathcal{L}\left( t,x(t),\dot{x}(t)dt\right) .

Cherchons les extrémales x de J de classe C^1 de [a,b] dans \Omega_1 telles que (i) x(a) et x(b) ont des valeurs fixées dans \Omega_1 et (ii) \dot x(t) \in \Omega_2 \left(t\in [a,b]\right). Le sous-espace E de C^1\left([a,b], \mathbf X\right) constitué des fonctions x vérifiant (i) est un sous-espace affine de C^1\left([a,b], \mathbf X\right). Son espace tangent, i.e. l'espace vectoriel sous-jacent, ou « direction », est le sous-espace de C^1\left([a,b], \mathbf X\right) constituée des fonctions nulles en a et b ; il s'agit d'un espace de Banach F muni de la norme

\left\Vert h\right\Vert _{1}=\sup_{t\in \left[ a,b\right] }\left(
\left\Vert h\left( t\right) \right\Vert +\left\Vert \dot{h}\left( t\right)
\right\Vert \right) .

La différentielle de J au point x est l'application dF(x)\in F{^\prime} donnée par[14]

dJ(x): F \ni h\mapsto \delta J\left( x;h\right) =\int_{a}^{b}\left( \frac{
\partial \mathcal{L}}{\partial x}h+\frac{\partial \mathcal{L}}{
\partial \dot{x}} \dot{h}\right) dt \in \R.

Une condition nécessaire pour que x^* soit une extrémale de J est dJ(x^*)=0, soit encore \delta J\left( x^*;h\right)=0 pour tout h \in F. Par le lemme de Du Bois-Reymond, une condition nécessaire d'extremum est donc que, sur [a,b], la fonction t\mapsto \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}(t,x^*(t),\dot{x}^*(t)) soit de classe C^1 (« première condition de Weierstrass-Erdmann »), et que soit vérifiée, pour tout t \in [a,b], l'équation d'Euler-Lagrange

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}(t,x^*(t),\dot{x}^*(t))\right) -
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}(t,x^*(t),\dot{x}^*(t))=0.


On aurait pu être tenté d'intégrer par parties le second terme dans l'intégrale donnant l'expression initiale de \delta J\left( x;h\right) , puis appliquer lemme fondamental du calcul des variations, mais alors il aurait fallu supposer x de classe C^2 (voir la démonstration classique de l'équation d'Euler-Lagrange) et on n'aurait pas obtenu la première condition de Weierstrass-Erdmann.

Lemme de Du Bois-Reymond généralisé[modifier | modifier le code]

On obtient une généralisation du lemme de Du Bois-Reymond, dans le cas où \mathbf X=\mathbb R^n, en supposant seulement g intégrable au sens de Lebesgue sur [a,b] et en remplaçant f.dt par une mesure \nu à valeurs dans \left(\mathbb R^n \right)^*, ainsi que \dot h par \dot h - B hB : t \mapsto B(t)\in End(\mathbb R^n) (End(\mathbb R^n) désignant l'algèbre des endomorphismes de \mathbb R^n) est une fonction continue sur [a,b][15]. On parvient donc à l'énoncé suivant :

Lemme de Du Bois-Reymond généralisé — Avec les notations ci-dessus, supposons que

\int_{a}^{b}\left( \left\langle \nu\left( t\right) ,\dot{h}\left( t\right)- B(t) h(t)
\right\rangle +\left\langle g\left( t\right) ,h\left( t\right) \right\rangle
dt\right) =0

pour toute fonction h \in C^1([a,b],\mathbb R^n) telle que h(a)=h(b)=0. Alors la mesure \nu est absolument continue, i.e. \nu=f.dt, où dt est la mesure de Lebesgue, et la densité f est continue et vérifie df/dt=g - f B Lebesgue-presque partout.

Application à la commande optimale[modifier | modifier le code]

La généralisation ci-dessus du lemme de Du Bois-Reymond est utilisée pour résoudre les problèmes de commande optimale.

On considère le critère

J\left( u\right) =\int_{a}^{b}l\left( t,x(t),u(t)\right) dt

à minimiser sous la contrainte dynamique

\dot x = \varphi(t,x,u)

pour des conditions initiales et finales fixées, où les fonctions l et \varphi sont de classe C^1 de [a,b]\times \Omega_1 \times \Omega_2 dans \mathbb R et \mathbb R^n respectivement, où \Omega_1 et \Omega_2 sont des ouverts non vides dans \mathbb R^n et \mathbb R^m respectivement. On recherche ici un « minimum faible », à savoir que la « commande optimale » \hat u est cherchée parmi les fonctions de classe C^1 de [a,b] dans \Omega_2 ; la dérivée \dot {\hat x} de l'« état » correspondant appartient alors nécessairement à l'espace E des fonctions continues de [a,b] dans \mathbf R^n ; E est un espace de Banach muni de la "norme du sup" habituelle. On utilise un multiplicateur de Lagrange \mu appartenant au dual topologique de E, à savoir une mesure de Radon à valeurs dans le dual \left(\mathbb R^n\right)^*, et on forme le lagrangien

\mathfrak L\left (x, \dot x, u ; \mu\right)= J(u) + \langle \mu, \dot x - \varphi(t,x,u)\rangle = J(u) + \langle \nu, \left(\left(\dot x - \varphi(t,x,u)\right)^T,\dot u^T\right)^T\rangle

avec \nu = \left(\mu, 0\right), où l'on représente les vecteurs de \mathbf R^n et \mathbf R^m par des colonnes et les covecteurs par des lignes. Écrivons que, pour que J(u) soit minimum pour les valeurs \hat u, \hat x de x et de u sous la contrainte dynamique considérée, il doit exister un multiplicateur de Lagrange \hat \mu pour lequel d \mathfrak L\left (\hat x, \dot{\hat x}, \hat u ;\hat \mu\right)=0. On a

d \mathfrak L\left (\hat x, \dot{\hat x}, \hat u ; \hat \mu\right): \left(h, \dot h\right) \mapsto \delta \mathfrak L\left (\hat x, \dot{\hat x}, \hat u , \hat \mu; h, \dot h\right)

h=\left(\delta x^T, \delta u^T\right)^T et

\delta \mathfrak L\left (\hat x, \dot{\hat x}, \hat u , \hat \mu; h, \dot h\right)=\int_{a}^{b}\left( \left\langle \nu\left( t\right) ,\dot{h}\left( t\right)- B(t) h(t)
\right\rangle +\left\langle g\left( t\right) ,h\left( t\right) \right\rangle
dt\right) ,
g(t)=\left( \frac{\partial l}{\partial x},\frac{\partial l}{\partial u}\right)
,\nu =\left( 
\mu ,0\right) ,B=\left( 
\begin{array}{cc}
\frac{\partial \varphi }{\partial x} & \frac{\partial \varphi }{\partial u}
\\ 0 & 0\end{array}\right) .

où les différentielles partielles sont évaluées en \left(t,\hat x(t), \hat u(t)\right). Le Lemme de Du Bois-Reymond généralisé implique que la mesure \hat \mu est absolument continue. De plus, en appelant p^\prime la densité de \mu, i.e. \mu=p^\prime.dtp^\prime est une fonction continue de [a,b] dans \left(\mathbb R^n\right)^* et, en définissant le « pseudo-hamiltonien »

\mathcal H\left(t,x,u,p^\prime\right)=\langle p^\prime, \varphi\left(t,x,u\right) - l\left(t,x,u\right)\rangle,

qui implique évidemment

\dot {\hat x}(t)=\frac{\partial \mathcal H }{\partial p^\prime}\left(t,\hat x(t),\hat u(t), \hat {p^\prime}(t)\right) (« première équation canonique »)

on obtient les conditions

\dot {\hat {p^\prime}}(t) = -\frac{\partial \mathcal H }{\partial x}\left(t,\hat x(t),\hat u(t), \hat {p^\prime}(t)\right) (« deuxième équation canonique ») et
0=\frac{\partial \mathcal H }{\partial u}\left(t,\hat x(t),\hat u(t),\hat {p^\prime}(t)\right) (« condition de stationnarité »)

qui doivent être vérifiées presque partout.

Ceci peut être vu comme un cas particulier du Principe du maximum de Pontryagin. Ce dernier s'obtient avec des « variations fortes » de la commande (variations « en aiguilles » ou « en pointes ») alors que ci-dessus on a réalisé des « variations faibles ». Le Principe du maximum entraîne dans le cas considéré la condition de stationnarité (car la maximisation s'effectue sur un ouvert) mais la réciproque est fausse.

Lemme de Haar[modifier | modifier le code]

Le lemme fondamental du calcul des variations conduit facilement à une généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange pour des extrémales de classe {}^{C^2} dans le cas du calcul des variations à intégrale multiple (voir § Calcul des variations à intégrale multiple). Le lemme de Du Bois-Reymond, comme on l'a vu plus haut, permet de rechercher, dans le cas du calcul des variations à intégrale simple, des extrémales de classe {}^{C^1}. La recherche d'extrémales de classe {}^{C^1} pour le calcul des variations à intégrale multiple se réalise grâce aux conditions obtenues par Alfréd Haar entre 1926 et 1929.

1) Dans le cas d'intégrales doubles, le résultat de Haar s'énonce comme suit (on suppose \mathbf X = \R.) : soit D un sous-ensemble fermé de \R^2, d'intérieur non vide, et u et v des fonctions continues de D dans \R. Supposons que pour toute fonction h de classe {}^{C^1} dans D, s'annulant sur la frontière \partial D de D, on ait

\iint\nolimits_{D}\left( u\frac{\partial h}{\partial x_{1}}+v\frac{\partial
h}{\partial x_{2}}\right) dx_{1}dx_{2}=0.

Alors il existe une fonction \omega: D\rightarrow \R de classe {}^{C^1} telle que u=\frac{\partial \omega}{\partial x_2} et v=-\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}}.

2) Comme l'a montré Haar dans son second article cité en référence, le procédé utilisé dans la démonstration ci-dessus s'étend sans difficulté au cas d'une intégrale multiple ; on peut également supposer \mathbf X = \R^m :

Lemme de Haar — Soit D un sous-ensemble fermé D de \R^n, d'intérieur non vide, u_i : D \rightarrow (\R^m)^* (i=1,...,n) des fonctions continues, et supposons que pour toute fonction h:D \rightarrow \R^m, de classe {}^{C^1} et s'annulant sur la frontière \partial D de D, on ait

\int \nolimits_{D}\left(\sum\nolimits_{1\leq i\leq n} \langle u_{i},\frac{\partial h}{\partial x_{i}}\rangle\right)
dx=0.

Alors il existe n fonctions U_i:D\rightarrow (\R^m)^* de classe {}^{C^{n-1}} et un covecteur constant C\in (\R^m)^* (pouvant être pris égal à 0) tels que \sum\nolimits_{1\leq i\leq n}U_{i}=C et

u_{i}=\frac{\partial ^{n-1}U_{i}}{\partial x_{1}...\partial x_{i-1}\partial
x_{i+1}....\partial x_{n}}.

Remarque sur le lemme de Haar[modifier | modifier le code]

(1) Dans son second article cité en référence, Haar a démontré le résultat ci-dessus dans le cas m=1. On passe au cas où m est quelconque en posant u_{i}=\sum_{j=1}^{m}u_{ij}e^{\ast j } et h=\sum_{j=1}^{m}h^{j}e_{j}, où (e_j) est la base canonique de \R^m et (e^{\ast j} ) est la base duale.

(2) Pour n=1 on retrouve le lemme de Du Bois-Reymond.

Application du lemme de Haar au calcul des variations[modifier | modifier le code]

Illustrons le lemme de Haar dans le cas n=2. Soit \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3 des ouverts non vides de \R, et

\mathcal L: D\times \Omega_1 \times \Omega_2\times \Omega_3 \rightarrow \mathbb R: (x,y,p,q) \mapsto \mathcal L(x,y,p,q)

une fonction de classe {}^{C^1} telle que les dérivées partielles \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p} et \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} sont également de classe {}^{C^1}. Considérons la fonctionnelle

J\left( y\right) =\iint\nolimits_{D}\mathcal{L}\left(
x_{1},x_{2},p,q,y\right) dx_{1}dx_{2}

y est une fonction de classe {}^{C^1} dans D, à valeurs réelles, p=\frac{\partial y}{\partial x_{1}} et q=\frac{\partial y}{\partial x_{2}}. On se propose de déterminer une condition nécessaire pour qu'une fonction y^* soit une extrémale de classe {}^{C^1} ayant des valeurs fixées sur \partial D.

La différentielle de J au point y est

dJ\left( y\right) :h\mapsto \delta J\left( y;h\right)
=\iint\nolimits_{D}\left( u.\frac{\partial h}{\partial x_{1}}+v.\frac{
\partial h}{\partial x_{2}}+w.h\right) dx_{1}dx_{2}

avec u=\frac{\partial \mathcal L}{\partial p}, v=\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} et w=\frac{\partial \mathcal L}{\partial y}.

(1) Supposons tout d'abord que \mathcal L ne dépende pas explicitement de y, donc que l'on ait w=0. Pour que y^* soit solution du problème, il est nécessaire, d'après le lemme de Haar, qu'il existe une fonction \omega: D\rightarrow \R de classe {}^{C^1} telle que u=\frac{\partial \omega}{\partial x_2} et v=-\frac{\partial \omega}{\partial x_1}.


(2) Dans le cas où \mathcal L dépend explicitement de y, on se ramène au cas précédent en introduisant une fonction \Omega de classe {}^{C^2} telle que

2\Omega \left( x_{1},x_{2}\right) =\iint\nolimits_{\left[ a_{1},x_{1}\right]
\times \left[ a_{2},x_{2}\right] }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}
d\xi _{1}d\xi _{2}

\left[ a_{1},x_{1}\right]\times \left[ a_{2},x_{2}\right]\subset D. Soit h une fonction de classe {}^{C^1} s'annulant sur \partial D. Des intégrations par parties permettent d'obtenir

2\iint\nolimits_{D}h.w.dx_{1}dx_{2}=-2\iint\nolimits_{D}\frac{\partial h}{
\partial x_{1}}\frac{\partial \Omega }{\partial x_{2}}dx_{1}dx_{2}=-2\iint
\nolimits_{D}\frac{\partial h}{\partial x_{2}}\frac{\partial \Omega }{
\partial x_{1}}dx_{1}dx_{2}

et par conséquent

\delta J\left( y;h\right) =\iint\nolimits_{D}\left\{ \left( u-\frac{
\partial \Omega }{\partial x_{2}}\right) .\frac{\partial h}{\partial x_{1}}
+\left( v-\frac{\partial \Omega }{\partial x_{1}}\right) .\frac{\partial h}{
\partial x_{2}}\right\} dx_{1}dx_{2}.

On a donc obtenu le

Théorème — Pour que y^* soit une extrémale de classe {}^{C^1} de J, ayant des valeurs fixées sur \partial D, il est nécessaire qu'il existe des fonctions \omega et \Omega, de D dans \R, de classe {}^{C^1} et {}^{C^2} respectivement, telles que

u = \frac{\partial \mathcal \omega}{\partial x_2}+\frac{\partial \Omega}{\partial x_2}, v=- \frac{\partial \mathcal \omega}{\partial x_1}+\frac{\partial \Omega}{\partial x_1},  w=2\frac{\partial ^{2}\Omega }{\partial x_{1}\partial x_{2}}.

En particulier, si l'on recherche y^* de classe {}^{C^2}, \omega sera de classe {}^{C^2} ; d'après le théorème de Schwarz, on obtient alors

\frac{\partial u}{\partial x_{1}}=\frac{\partial ^{2}\omega }{\partial
x_{1}\partial x_{2}}+w,\frac{\partial v}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial
^{2}\omega }{\partial x_{1}\partial x_{2}}+w

et par conséquent

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{\partial }{\partial x_{1}}
\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial y}{
\partial x_{1}}\right) }\right) -\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left( 
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial y}{\partial x_{2}}
\right) }\right) =0.

Cette généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange, appelée équation d'Ostrodradski, peut également s'obtenir à partir du lemme fondamental du calcul des variations.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (de) Friedrich Ludwig Stegmann, Lehrbuch der Variationsrechnung..., Kassel,‎ 1854 (lire en ligne), p. 90
  2. Joseph-Louis Lagrange, Œuvres, Gauthier-Villars,‎ 1867-1892 (lire en ligne), tome I, p. 337-338
  3. Herman H. Goldstine (en), A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer-Verlag,‎ 1980, 410 p. (ISBN 0387905219), p. 288
  4. Voir par exemple la manière dont Antoine Meyer (lb) évacue la difficulté dans son livre pourtant paru deux années après celui de Stegmann : Antoine Meyer, Nouveaux éléments du calcul des variations, Liège,‎ 1856 (lire en ligne), p. 70, 74
  5. (de) Eduard Heine, « Aus brieflichen Mittelheilungen (namentlich über Variationsrechnung) », Mathematische Annalen, vol. 2,‎ 1870, p. 187-191 (lire en ligne)
  6. (de) Paul du Bois-Reymond, « Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung », Mathematische Annalen, vol. 15, no 2,‎ 1879, p. 283-314 (lire en ligne)
  7. (de) Paul du Bois-Reymond, « Fortsetzung der Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung », Mathematische Annalen, vol. 15, no 2,‎ 1879, p. 564-576 (lire en ligne)
  8. (de) Alfréd Haar, « Über die Variation der Doppelintegrale », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 149, no 1/2,‎ 1926, p. 1-18 (lire en ligne)
  9. (de) Alfréd Haar, « Zur Variationsrechnung », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 8, no 1,‎ 1931/1932, p. 1-27 (lire en ligne)
  10. C'est ici le même procédé que celui utilisé par Schwartz 1997 dans la démonstration du Lemme 3.11.25 qu'il appelle de manière impropre « lemme de Haar ».
  11. (en) fundamental lemma of calculus of variations de PlanetMath
  12. On ne peut réaliser ce plongement lorsque \mathbf X est un espace de Banach (même réflexif) de dimension infinie si l'on n'impose pas de conditions supplémentaires à f (N. Bourbaki, Intégration - Chapitre 6 Intégration vectorielle, Hermann,‎ 1959), §2 ; Laurent Schwartz, « Théorie des distributions à valeurs vectorielles, 1ère partie », Annales de l'Institut Fourier, t. 7,‎ 1957, p. 1-141 (lire en ligne), p. 66)
  13. (de) André Razmadzé, « Über das Fundamentallemma der Variationsrechnung », Mathematische Annalen, vol. 84, no 1-2,‎ 1921, p. 115-116 (lire en ligne)
  14. Schwartz 1997, Thm. 3.11.2, p. 306
  15. Alexéev, Tikhomirov et Fomine 1982, §4.1.3, p. 307.

Références[modifier | modifier le code]

  • V. Alexéev, V. Tikhomirov et S. Fomine, Commande optimale, Mir,‎ 1982
  • (en) Oskar Bolza, Lectures on the Calculus of variations, Dover,‎ 1904
  • Laurent Schwartz, Analyse II, Hermann,‎ 1997 (ISBN 9782705661625)