Forme linéaire

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En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert.

Les formes linéaires sur un espace vectoriel portent parfois également le nom de covecteur. Ce terme qui prend sens dans le cadre général des tenseurs et du calcul tensoriel rappelle que si les formes linéaires peuvent être représentées par un système de coordonnées comparable à celui des vecteurs, elles s'en distinguent pour ce qui est des formules de transformations.

Définition

Une forme linéaire sur un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (ou covecteur de E) est une application φ de E dans K qui est linéaire, c'est-à-dire qui vérifie :

$\forall(x,y)\in E^2,~\forall\lambda\in K,~\varphi(\lambda x+y)=\lambda\varphi(x)+\varphi(y).$

Exemples

• L'application constante sur E de valeur 0_K s'appelle la « forme linéaire nulle sur E ».
• L'application $\begin{matrix}\varphi:&\R^2&\longrightarrow&\R\\&(x,y)&\longmapsto&2x+3y\end{matrix}$ est une forme linéaire sur ℝ².
• Plus généralement, les formes linéaires sur ℝⁿ sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme : $\begin{matrix}\varphi:&\R^n&\longrightarrow&\R\\&\vec x&\longmapsto&a_1x_1+\ldots+a_n x_n,\end{matrix}$ où $x_1,\ldots,x_n$ sont les composantes du vecteur $\vec x\in\R^n$.
• Si L¹(Ω) est le ℂ-espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré Ω, alors l'intégrale est une forme linéaire sur L¹(Ω). Cela signifie que $\forall f,g\in\mathrm L^1(\Omega),~\forall\lambda\in\C,\int(\lambda f+g)=\lambda\int f+\int g.$

Représentations matricielles

L'écriture ci-dessus des formes linéaires sur ℝⁿ, où les composantes d'un vecteur étaient ses coordonnées dans la base canonique, peut s'interpréter comme un produit matriciel de la matrice ligne (a₁ … a_n) par la matrice colonne représentant ce vecteur :

$x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\quad\varphi(x)=(a_1 \dots a_n)\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}.$

Plus généralement, si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, une base de E étant donnée, les n coordonnées dans cette base d'un vecteur $\vec x\in E$ sont ordonnées sous forme de vecteur colonne :

$\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots \\ x_n\end{pmatrix}.$

Toute forme linéaire sur E est alors représentée par un vecteur ligne à n composantes :

$\begin{pmatrix}\varphi_1 &\cdots & \varphi_n\end{pmatrix},$

ce qui signifie que

$\varphi(\vec x)=\begin{pmatrix}\varphi_1&\cdots&\varphi_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n\varphi_i x_i.$

Selon la convention d'Einstein, ce résultat peut se noter $\varphi^i x_i$ et est un scalaire (en réalité une matrice (1, 1)).

Propriétés

• Si φ est une forme linéaire non nulle, alors
  • φ est surjective, c'est-à-dire que son image est égale au corps de base ;
  • son noyau ker(φ) est un hyperplan de E, c'est-à-dire que les supplémentaires de ker(φ) sont des droites vectorielles.
• Réciproquement, tout hyperplan de E est le noyau d'au moins une forme linéaire (ipso facto non nulle).
• Une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs. En particulier, deux formes non nulles sont proportionnelles si (et seulement si) elles ont pour noyau le même hyperplan.

Démonstrations

• Si φ est une forme linéaire non nulle, alors ker(φ) est un hyperplan.
  En effet, les supplémentaires de ker(φ) sont isomorphes au quotient E/ker(φ), or φ induit un isomorphisme de ce quotient vers K.
• Si H est un hyperplan de E, il existe au moins une forme linéaire φ de noyau H.
  En effet, la donnée d'un tel φ équivaut à celle d'un morphisme injectif φ de E/H vers K c'est-à-dire, si u est un vecteur directeur de la droite E/H, au choix d'un scalaire non nul φ(u).
• Une forme φ est combinaison des formes φ₁, … , φ_n dès que ker(φ) contient l'intersection des ker(φ_k).
  Raisonnons par récurrence sur n. Si n = 0 (avec la convention – locale à ce contexte – qu'une intersection de sous-espaces indexée par l'ensemble vide est l'espace entier), φ est bien nulle. Soit n > 0, supposons la propriété démontrée pour moins de n formes et démontrons-la pour n avec, sans perte de généralité, φ_n non nulle donc de noyau un hyperplan H. Notons ψ, ψ₁, … , ψ_{n – 1} les restrictions à H de φ, φ₁, … , φ_{n – 1}. Comme ker(φ) est supposé contenir l'intersection des noyaux de φ₁, … , φ_n, ker(ψ) contient l'intersection de ceux de ψ₁, … , ψ_{n – 1} donc par hypothèse de récurrence, il existe des scalaires λ_k tels que$\psi=\sum_{k<n}\lambda_k\psi_k.$Soit u un vecteur n'appartenant pas à H ; pour un choix adéquat de λ_n, la forme$\varphi-\sum_{k\le n}\lambda_k\varphi_k$est alors nulle non seulement sur H mais aussi sur u, donc partout.

Espace dual

L'ensemble des formes linéaires sur E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel K^E des applications de E dans K. On l'appelle le dual de E et il est noté E* ou hom(E, K).

On note parfois $\langle\varphi,x\rangle$ (où $x \in E$) pour $\varphi(x)$. Cette notation est appelée crochet de dualité.

Bases duale et antéduale

Si E est de dimension finie n, la représentation matricielle ci-dessus met en évidence que E* est aussi de dimension finie n donc isomorphe à E. Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens où si E est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à E*. Si $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de E, on définit sur celle-ci les formes linéaires notées $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ par :

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ e_i^*(e_j)=\delta_{ij}$

(où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker, c'est-à-dire valant 1 si $i=j$ et 0 sinon).

Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur $x$ par $e_i^*$ n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur $x$ dans la base $(e_1, \ldots, e_n)$. Le résultat important est que la famille de formes linéaires $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ forme une base de E* ; on appelle aussi cette base la base duale de la base $(e_1, \ldots, e_n)$.

Inversement, si l'on se donne une base $(f_1^*,\ldots, f_n^*)$ de E*, il existe une unique base $(f_1,\ldots, f_n)$ de E telle que :

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ f_i^*(f_j)=\delta_{ij}.$

La base $(f_1, \ldots, f_n)$ s'appelle la base antéduale de la base $(f_1^*, \ldots, f_n^*)$.

Formes linéaires continues

Si l'on considère un espace vectoriel normé E sur le corps K = ℝ ou ℂ, alors on sait définir la notion de continuité de n'importe quelle application de E dans K. En particulier, on dispose d'une notion de continuité pour les formes linéaires. Le sous-espace vectoriel de E* constitué des formes linéaires continues est appelé le dual topologique de E et noté E'.

Toute forme linéaire continue sur un espace vectoriel normé est lipschitzienne.

Cas des espaces de Hilbert

On suppose ici que E est un espace de Hilbert (réel ou complexe), dont on note $\langle, \rangle$ le produit scalaire.

Le théorème de représentation de Riesz exprime toute forme linéaire continue sur E via le produit scalaire ; précisément :

$\forall \varphi \in E',\ \exists! a_{\varphi} \in E,\ \forall x \in E,\ \varphi(x)= \langle x,a_{\varphi}\rangle.$

Référence

Cours de Relativité Générale, d'après Lecture notes on General relativity de Sean M. Carroll : traduction et adaptation par Jacques Fric

Voir aussi

• Composantes covariantes et contravariantes
• Pseudovecteur