Forme linéaire

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En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert.

Les formes linéaires sur un espace vectoriel portent parfois également le nom de covecteur. Ce terme qui prend sens dans le cadre général des tenseurs et du calcul tensoriel rappelle que si les formes linéaires peuvent être représentées par un système de coordonnées comparable à celui des vecteurs, elles s'en distinguent pour ce qui est des formules de transformations.

Définition[modifier | modifier le code]

Une forme linéaire[1] sur un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (ou covecteur[2] de E) est une application φ de E dans K qui est linéaire, c'est-à-dire qui vérifie :

\forall(x,y)\in E^2,~\forall\lambda\in K,~\varphi(\lambda x+y)=\lambda\varphi(x)+\varphi(y).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'application constante sur E de valeur 0K s'appelle la « forme linéaire nulle sur E ».
  • L'application
    \begin{matrix}\varphi:&\R^2&\longrightarrow&\R\\&(x,y)&\longmapsto&2x+3y\end{matrix}
    est une forme linéaire sur ℝ2.
  • Plus généralement, les formes linéaires sur ℝn sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme :
    \begin{matrix}\varphi:&\R^n&\longrightarrow&\R\\&\vec x&\longmapsto&a_1x_1+\ldots+a_n x_n,\end{matrix}
    x_1,\ldots,x_n sont les composantes du vecteur \vec x\in\R^n.
  • Sur l'espace des applications continues de [a, b] dans ℝ, l'intégration f\mapsto \int_a^bf(t)~{\rm d}t est une forme linéaire[3].
  • Si L1(Ω) est le ℂ-espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré Ω, alors l'intégrale est une forme linéaire sur L1(Ω). Cela signifie que
    \forall f,g\in\mathrm L^1(\Omega),~\forall\lambda\in\C,\int(\lambda  f+g)=\lambda\int f+\int g.

Représentations matricielles[modifier | modifier le code]

L'écriture ci-dessus des formes linéaires sur ℝn, où les composantes d'un vecteur étaient ses coordonnées dans la base canonique, peut s'interpréter comme un produit matriciel de la matrice ligne (a1an) par la matrice colonne représentant ce vecteur :

x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\quad\varphi(x)=(a_1 \dots a_n)\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}.

Plus généralement, si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, une base de E étant donnée, les n coordonnées dans cette base d'un vecteur \vec x\in E sont ordonnées sous forme de vecteur colonne :

\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots \\ x_n\end{pmatrix}.

Toute forme linéaire sur E est alors représentée par une matrice ligne à n composantes :

\begin{pmatrix}\varphi_1 &\cdots & \varphi_n\end{pmatrix},

ce qui signifie que

\varphi(\vec x)=\begin{pmatrix}\varphi_1&\cdots&\varphi_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = 
\sum_{i=1}^n\varphi_i x_i.

Selon la convention d'Einstein, ce résultat peut se noter \varphi^i x_i et est un scalaire (en réalité une matrice (1, 1)).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si φ est une forme linéaire non nulle, alors
  • Réciproquement, tout hyperplan de E est le noyau d'au moins une forme linéaire (ipso facto non nulle).
  • Une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs. En particulier, deux formes non nulles sont proportionnelles si (et seulement si) elles ont pour noyau le même hyperplan.

Espace dual[modifier | modifier le code]

L'ensemble des formes linéaires sur E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel KE des applications de E dans K. On l'appelle le dual de E et il est noté E* ou hom(E, K).

On note parfois \langle\varphi,x\rangle (où x \in E) pour \varphi(x). Cette notation est appelée crochet de dualité.

Bases duale et antéduale[modifier | modifier le code]

Si E est de dimension finie n, la représentation matricielle ci-dessus met en évidence que E* est aussi de dimension finie n donc isomorphe à E. Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens où si E est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à E*. Si (e_1, \ldots, e_n) une base de E, on définit sur celle-ci les formes linéaires notées  (e_1^*,\ldots,e_n^*) par :

\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ e_i^*(e_j)=\delta_{ij}

(où \delta_{ij} est le symbole de Kronecker, c'est-à-dire valant 1 si i=j et 0 sinon).

Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur x par e_i^* n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur x dans la base (e_1, \ldots, e_n). Le résultat important est que la famille de formes linéaires  (e_1^*,\ldots,e_n^*) forme une base de E* ; on appelle aussi cette base la base duale de la base (e_1, \ldots, e_n).

Inversement, si l'on se donne une base (f_1^*,\ldots, f_n^*) de E*, il existe une unique base (f_1,\ldots, f_n) de E telle que :

\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ f_i^*(f_j)=\delta_{ij}.

La base (f_1, \ldots, f_n) s'appelle la base antéduale de la base (f_1^*, \ldots, f_n^*).

Formes linéaires continues[modifier | modifier le code]

Si l'on considère un espace vectoriel normé E sur le corps K = ℝ ou ℂ, alors on sait définir la notion de continuité de n'importe quelle application de E dans K ou même dans un autre espace vectoriel normé F. On démontre dans le § « Opérateur borné » de l'article sur les espaces vectoriels normés l'équivalence entre diverses caractérisations de la continuité d'une application linéaire f (entre autres : f est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité). Si E est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue. Si E est de dimension quelconque mais si F = K, on dispose du critère suivant :

Une forme linéaire est continue si (et seulement si) son noyau est fermé.

(Alors que pour qu'une application linéaire de E dans un espace F de dimension infinie soit continue, cette condition — évidemment nécessaire — n'est pas suffisante.)

Les hyperplans fermés sont donc exactement les noyaux de formes linéaires continues non nulles. Les autres hyperplans (les noyaux de formes linéaires discontinues) sont denses.

Le sous-espace vectoriel de E* constitué des formes linéaires continues est appelé le dual topologique de E et noté E'.

Cas des espaces de Hilbert[modifier | modifier le code]

On suppose ici que E est un espace de Hilbert (réel ou complexe), dont on note \langle, \rangle le produit scalaire.

Le théorème de représentation de Riesz exprime toute forme linéaire continue sur E via le produit scalaire ; précisément :

\forall \varphi \in E',\ \exists!  a_{\varphi} \in E,\ \forall x \in E,\ \varphi(x)=  \langle x,a_{\varphi}\rangle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-40.
  2. Les termes forme linéaire et covecteurs sont cités dans l'exemple 3 page 189 de Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966.
  3. Roger Godement, Cours d'Algèbre, p. 191, exemple 6.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]