Théorème des fonctions implicites

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En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(xy) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de ℝ dans ℝ et au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus. Plus précisément, si (x0y0) vérifie l'équation, si f est continûment différentiable et que sa dérivée partielle par rapport à y en (x0y0) n'est pas nulle, alors il existe un voisinage de (x0y0) sur lequel la zone s'identifie au graphe de φ.

Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels complets. Ce résultat est une forme équivalente du théorème d'inversion locale qui indique qu'une fonction différentiable et suffisamment régulière est localement inversible, c'est une conséquence directe d'un théorème du point fixe.

Ce théorème se trouve dans différentes branches des mathématiques, sous cette forme ou sous celle de l'inversion locale. Il permet de démontrer le mécanisme des multiplicateurs de Lagrange, il intervient dans un contexte plus géométrique, pour l'étude des variétés différentielles, on le trouve encore pour l'étude des équations différentielles où il est, entre autres, utilisé à travers le théorème du redressement d'un flot, permettant de démontrer le théorème de Poincaré-Bendixson. Il dépasse le cadre des mathématiques, les physiciens ou les économistes en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être définies à l'aide d'une fonction, mais uniquement implicitement à l'aide d'une équation.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Selon les besoins, on trouve des énoncés différents de ce théorème. En dimension 2, il prend la forme suivante :

  • Soit f une fonction de classe Cp (avec p > 0) définie sur un ouvert U de R2 et à valeurs dans R. Soit (x0y0) un point de U tel que f(x0y0) = 0 et tel que la dérivée partielle de f, par rapport à la deuxième variable, ne soit pas nulle en (x0y0). Il existe une fonction réelle φ de classe Cp, définie sur un intervalle ouvert réel W contenant x0, et un voisinage ouvert V de (x0y0) dans U ∩ (W × R), tels que l'équivalence suivante soit vraie[1] :
\forall (x,y) \in V \quad f(x,y)=0 \,\Leftrightarrow\, \varphi(x) = y.

La condition φ(x0) = y0 n'est pas explicitée car elle n'est qu'un cas particulier de l'équivalence. La dérivée de φ au point x0 est donnée par la formule :

\frac {\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}(x_0)= -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}

Cette version n'est pas toujours satisfaisante. Il peut être utile d'utiliser ce résultat sur des surfaces et non plus sur des courbes, voire sur des espaces vectoriels dont la dimension n'est pas nécessairement finie. On trouve cette version plus générale et plus précise[2] :

  • Soient E, F et G trois espaces de Banach et f une fonction de classe Cp définie sur un ouvert U de E × F et à valeurs dans G. Soit (x0y0) un point de U tel que f(x0y0) = 0 et tel que la différentielle partielle D2f(x0y0) soit une bijection bicontinue de F dans G. Il existe une fonction φ de classe Cp à valeurs dans F, définie sur un voisinage ouvert W de x0, et un voisinage ouvert V de (x0y0) dans U ∩ (W × F), tels que
\forall x\in W \quad (x,\varphi(x))\in V\quad\text{et}\quad\forall (x,y)\in V\quad f(x,y)=0 \,\Leftrightarrow\, \varphi(x) = y.

Ces deux propriétés de φ garantissent automatiquement son unicité, au sens suivant :

  • Sur toute partie connexe C de W contenant x0, φ est la seule application continue vérifiant\varphi(x_0) = y_0 \quad\text{et}\quad\forall x \in C\quad(x,\varphi(x))\in U\text{ et }f(x,\varphi(x))=0.

Dimension deux[modifier | modifier le code]

Premier exemple[modifier | modifier le code]

Le théorème de l'article indique que pour un point A, il existe un voisinage de A tel que la figure soit le graphe d'une fonction, ce graphe contient le point A. Dans l'exemple illustré, la fonction associée au point A est celle qui à x associe la racine carrée de 1 - x2.

Il existe de multiples manières de définir une figure géométrique dans le plan. Ainsi, l'ensemble des points à distance 1 d'une origine O, définit un cercle. Cette même figure, d'après le théorème de Pythagore, se définit aussi par une équation cartésienne : x2 + y2 - 1 = 0. On peut encore la définir à l'aide d'une équation paramétrique, le cercle correspond à l'image du segment [0, 2π] par la fonction qui à θ, associe (cos θ, sin θ).

Le théorème de l'article permet, à l'aide d'une équation cartésienne, d'obtenir une équation paramétrique, mais pas de la même nature que celle citée en exemple. Il fournit bien des représentations sous forme d'une équation paramétrique, mais la courbe correspond à l'image d'une fonction qui à x associe (x, φ(x)). Plus simplement, on peut considérer que la courbe est localement le graphe de la fonction φ, ainsi cette forme particulière d'équation paramétrique est définie par une fonction de R dans R et non de R dans le plan.

Dans le cas du cercle, une première difficulté apparaît, pour un point x compris strictement entre -1 et 1, il existe deux valeurs de y possibles. Le théorème est uniquement local, c'est-à-dire qu'il permet de fournir une partie seulement de la figure géométrique et ne peut, dans le cas général, la décrire tout entière.

En revanche, pour un point A de la figure, le théorème permet théoriquement de fournir une équation paramétrique d'un voisinage du point A, ce qui signifie, si (x0y0) sont les coordonnées du point A, qu'il existe un intervalle ouvert ]ab[ contenant x0 sur lequel est décrit la figure. Ce résultat ne peut pas être toujours vrai, le point B, dont l'abscisse est égale à 1, est un contre exemple. À l'exception du point B et pour toute abscisse suffisamment proche de 1, correspond deux ordonnées possibles. Le théorème ne peut s'appliquer en ce point.

Une remarque permet de détecter une propriété de ce point B. Si un point décrivant le cercle varie autour de B, sa deuxième coordonnée reste presque immobile. Une manière de le percevoir rigoureusement est de considérer l'équation cartésienne comme une fonction de la variable y ayant x comme paramètre. Si l'on dérive cette fonction, on obtient l'expression 2.y. Cette dérivée est appelée dérivée partielle, par rapport à la deuxième variable. Au point B, l'ordonnée est nulle et la dérivée partielle est aussi nulle. Le théorème indique que si cette dérivée partielle n'est pas nulle pour les coordonnées d'un point A, il est toujours possible de représenter le voisinage de A comme le graphe d'une fonction. Dans l'exemple choisi, la fonction est[3] :

\forall x \in ]-1, 1[\quad \varphi (x) = \sqrt {1 - x^2}

Courbe algébrique[modifier | modifier le code]

Fonction-implicite-(1).jpg

Si l'exemple précédent montre la mécanique et la portée du résultat de l'article, il n'en illustre guère son intérêt. Il est inutile de faire appel à ce puissant théorème pour trouver les deux fonctions dont l'union des graphes forment un cercle. L'exemple suivant est plus révélateur d'un usage possible. Il correspond à l'étude de la figure vérifiant l'équation cartésienne[4] :

x(x^2 + y^2) - 10(x^2 - y^2) = 0\;
200

Une manière de visualiser cette figure, est de considérer la nappe qui au point du plan de coordonnées (xy) associe le terme de gauche de l'équation. Cette nappe est illustrée à gauche, la partie ayant une coordonnée verticale supérieure à 0 est en jaune ou vert et l'autre partie en bleu ou rouge. La courbe définie par l'équation est celle obtenue si la nappe est coupée au plan z = 0, qui correspond à la frontière entre les zones jaune et bleu. Pour une meilleure visibilité, il est possible de se placer verticalement au-dessus de la nappe et d'y ajouter un repère, ce qui est fait sur la figure de droite. Tenter une résolution directe est hasardeux, le théorème de l'article, facilite l'étude.

Commençons par quelques remarques géométriques simples sur la zone des abscisses positives. Si x est strictement plus grand que 10, l'expression x(x2 + y2) est strictement plus grande que 10(x2 - y2), la courbe recherchée ne possède aucun point d'abscisse strictement supérieure à 10 et le point de plus grande abscisse est unique et de coordonnées (10, 0). Le théorème des fonctions implicites indique que pour les abscisses situées dans l'intervalle ]0,10[, il existe un paramétrage si l'expression suivante, notée d(x), n'est pas nulle :

d(x) = 2y(x+10)\;

L'expression d(x) ne s'annule sur la zone étudiée, que pour les ordonnées nulles (seule la zone des abscisses positives est étudiée ici) et ceux sur la droite x + 10.y = 0, qui ne rencontre pas la courbe pour les abscisses strictement positives. Pour les autres points (x0y0), on obtient une expression de la dérivée du paramétrage φ au point x0.

\frac {\mathrm d \varphi}{\mathrm d x} (x_0) = -\frac {3x_0^2 + y_0^2 - 20x_0}{2y_0(x_0+10)}

Selon la zone où se trouve le point étudié, on sait si la fonction de paramétrage est croissante ou décroissante. À l'intérieur d'une ellipse, illustrée en vert sur la figure de droite, le paramétrage est croissant. Sur l'ellipse, le paramétrage possède une dérivée nulle, elle possède le point de coordonnées (6, 3) en commun avec la courbe recherchée. Et à l'extérieur, dans la zone rouge, le paramétrage est strictement décroissant[5].

Dimension supérieure[modifier | modifier le code]

Multiplicateur de Lagrange[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Multiplicateur de Lagrange.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver un optimum, tout en satisfaisant une contrainte. Sur la figure, on cherche le point le plus élevé possible, située sur la ligne rouge.

Le théorème des fonctions implicites peut aussi être vu comme un outil pour démontrer des résultats, à l'image de la méthode du multiplicateur de Lagrange. On se place ici dans Rn, on cherche les optimums d'une fonction f d'un ouvert U de Rn dans R, vérifiant une contrainte g(x) = 0. On suppose ici que f et g sont continument différentiables. Pour plus de simplicité, on suppose que la contrainte définit une surface de dimension n - 1, c'est-à-dire que g est une fonction dont la différentielle est injective en chaque point et que g est à valeurs dans R[6]. Le cas général est traité dans l'article détaillé.

Le théorème associé au multiplicateur de Lagrange indique que les gradients de f et de g sont colinéaires sur les extrema recherchées. Le théorème des fonctions implicites permet simplement de montrer ce résultat dans le cadre des hypothèses restrictives choisies ici[Note 1]. Soit a un tel extremum, on note gradg(a) le gradient de g au point a. Si V désigne un voisinage de a inclus dans U, on peut écrire tout vecteur de V sous la forme a + h + λ.gradg(a), ou h est un vecteur orthogonal au gradient et λ une valeur scalaire. La contrainte g(x) = 0 s'exprime sur V par l'équation φ(h, λ) = g(a + h + λ.gradg(a)) = 0. Un rapide calcul montre que la différentielle partielle sur λ est égale au carré de la norme du gradient, qui par hypothèse n'est pas nul. Le théorème des fonctions implicites permet de considérer localement la contrainte comme respectée par les points images par une fonction ψ d'un ouvert de Rn-1 dans R. Plus précisément, il existe un voisinage W du vecteur nul de l'hyperplan orthogonal au gradient de g tel que les points de la contraintes s'écrivent de manière unique sous la forme a + h + ψ(h).gradg(a), avec h élément de W. Dire que a est un extremum signifie que la fonction f1 qui à h associe f(a + h + ψ(h).gradg(a)) admet une différentielle nulle en 0. On obtient :

\forall \delta h \in \text{grad}_g(a)^{\bot}\quad  Df_1(0).\delta h = \text{grad}_f(a).\left(\delta h+ (\text{grad}_{\psi'}(0).\delta h)\text{grad}_g(a)\right) = 0 \quad\text{et}\quad \text{grad}_f(a) \in \text{grad}_g(a)^{\bot} \;

Les seuls vecteurs orthogonaux à l'orthogonal d'un vecteur non nul sont les vecteurs colinéaires, ce qui montre la propriété.

Variété différentielle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Variété différentielle.

Une variété différentielle de dimension d de Rnn et d sont des entiers strictement positifs tel que d est plus petit que n, permet de généraliser les notions de courbes ou de surfaces lisses et régulières de dimension 2. Les termes de lisse et régulier sont des métaphores pour désigner le fait que les êtres considérés n'ont pas d'arête ou de point double. L'objet de ce paragraphe concerne les figures à l'image d'une sphère, qui est une variété différentielle de dimension 2, mais pas d'un cube, qui contient des points singuliers[Note 2].

Le voisinage d'un point O d'une variété de dimension d possède la propriété d'être semblable, au sens du difféomorphisme, à un ouvert de Rd. On peut l'exprimer de la manière suivante : il existe un ouvert U de Rd et une bijection bicontinue φ1, continument différentiable de U dans un ouvert de la variété contenant le point O et la différentielle en un point quelconque est de rang d. Autrement dit, il existe un bon paramétrage du voisinage de O. Il est aussi possible d'exprimer cette propriété à l'aide d'une équation cartésienne. Il existe un ouvert V de Rn et une fonction ψ de V dans Rn-d continument différentiable et dont les différentielles sont surjectives, tel que l'intersection de la variété avec V soit l'ensemble des points x qui vérifie l'équation ψ1(x) = 0, ce qui donne une définition locale à l'aide d'une équation cartésienne[7]

Cette situation est la copie d'une configuration classique en algèbre linéaire. Un sous-espace vectoriel de dimension d d'un espace de dimension n peut être vu, soit comme l'image d'une application linéaire injective d'un espace de dimension d, soit comme le noyau d'une application surjective dans un espace de dimension n - d. En algèbre linéaire, ces deux points de vue sont équivalents[8]. Il en est de même avec les variétés différentielles. L'équivalence se démontre dans un sens avec le théorème des fonctions implicites, la réciproque est plus aisée avec le théorème d'inversion locale.

Supposons que l'on dispose d'une équation paramétrique ψ1(x) = 0 sur le voisinage U. La différentielle de ψ1 en x0, coordonnées du point O, est de rang d et possède un noyau K de dimension n - d et un supplémentaire H de ce noyau de dimension d, d'après le théorème du rang. Tout élément de U s'écrit de manière unique comme égal à une somme x0 + h + k et l'on peut choisir un ouvert UH de H contenant le vecteur nul et un ouvert UK de H contenant le vecteur nul tel que x0 + UH + UK soit contenu dans U. L'application ψ de UHxUK dans Rd, qui à (hk) associe ψ1(x0 + h + k) satisfait aux hypothèses du théorème des fonctions implicites, d'où l'existence d'un paramétrage locale du voisinage de O, construit sur le voisinage UH.

Fonction-implicite-(4).jpg

On suppose maintenant que l'on dispose d'une représentation paramétrique locale du voisinage de O, c'est-à-dire une application φ1 de Rd dans Rn dont l'image est un voisinage de O dans la variété. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. La droite bleue représente Rd, la portion de courbe la variété contenant le point O est représentée en rouge. On identifie Rd avec le sous-espace vectoriel de Rn dont les n - d dernières coordonnées sont nulles. L'image de la différentielle de φ1 au point x0 est un sous-espace vectoriel de dimension d, on considère Ha un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel. On appelle Hd le sous-espace de Rn ayant les d premières coordonnées nulles. Les sous-espaces Ha et Hd ont même dimensions, ils sont donc isomorphes, soit φ2 un tel isomorphisme. On considère maintenant φ l'application de UxHd dans Rn, qui à x0 + h + k associe φ1(x0 + h) + φ2(k). Ici h désigne un vecteur de Rd et k un vecteur de Ha. L'application φ est continument différentiable et sa différentielle au point x0 est un isomorphisme. Le théorème d'inversion locale montre qu'il existe un ouvert W contenant O et une application ψ1 de W dans Rn différentiable et qui soit localement une réciproque de φ. L'image de l'intersection de la variété et de W est incluse dans Hd, si l'ouvert W est choisi suffisamment petit. Il suffit de composer ψ1 par l'application linéaire qui à un vecteur de Rn, associe le vecteur de Rn-d composée des n - d dernières coordonnées du vecteur d'origine, pour conclure. Si ψ est cette application composée, sur un voisinage de O, la variété est définie par l'équation ψ(x) = 0.

Théorème du redressement d'un flot[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème du redressement.
Redressement-d'un-flot.jpg

Le théorème des fonctions implicites joue un rôle pour l'étude des équations différentielles. On le trouve à divers endroits, dont le théorème du redressement d'un flot[9]. Considérons l'équation différentielle autonome (1) :

(1)\quad \frac {\mathrm dx}{\mathrm dt} = f(x)

Ici f désigne une fonction continument différentiable définie sur U, un ouvert d'un espace de Banach E et à valeurs dans E. Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence d'une unique fonction flot φ qui prend ses valeurs dans un ouvert V inclus dans RxU et à valeur dans E, telle que la fonction qui à t associe φ(tx) soit l'unique solution de l'équation (1) avec la condition de Cauchy s(0) = x.

Un exemple de flot, au voisinage V1 d'un point x0 de U est illustré en rouge à droite. Si l'on considère l'intersection de V1 avec un hyperplan affine contenant x0 et dont la direction ne contient pas f(x0), on obtient la pastille illustrée en rouge et jaune. Pour l'étude locale d'un flot, la configuration équivalente au-dessous, en bleu est plus simple. Si la fonction f est constante, sur un voisinage de la pastille V, pour un point x de V, les solutions de l'équation différentielle (1) sont décrites par le flot φ(tx) = x + t.vv est le vecteur constant image de f, sur un voisinage de V.

Une conséquence de l'article est l'existence d'un difféomorphisme ψ défini sur un voisinage W de x tel que :

\forall x \in W,\; \forall t \in ]-\mu,\mu[ \quad \psi\circ \varphi (t,x) = x + tv \;

Autrement dit, il est possible de redresser le flot φ à l'aide d'un difféomorphisme ψ, ce qui permet une étude locale plus aisée de l'équation différentielle (1). La démonstration de ce résultat est fondé sur le fait que la fonction flot est aussi continument différentiable. La restriction φ de Wx]-μ, μ[ possède au point (0, x0) une différentielle inversible et bicontinue. Le théorème d'inversion locale permet de conclure. Ce résultat est utilisé, par exemple dans la démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson[10].

Théorème de Cauchy-Lipschitz[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Flot (mathématiques).

Le théorème précédent est une application directe du théorème d'inversion locale, à la condition de disposer d'un résultat non immédiat. Si la fonction f du paragraphe précédent est de classe C1, alors le flot l'est aussi. Ce résultat porte généralement le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz. Cette forme sophistiquée du théorème est traitée dans l'article détaillé. De manière indépendante, deux mathématiciens Pugh et Robbin[11] ont trouvé une même démonstration élémentaire. Elle consiste à étudier l'application T qui à un couple (x, σ) associe une fonction. Ici x est un élément de U avec les notations du paragraphe précédent et σ une fonction d'un petit intervalle contenant O. L'application est définie de la manière suivante :

T(x,f)(t) = x + \int_0^t f(\sigma(\tau)) \mathrm d\tau - \sigma

La solution intégrale s, qui à t associe φ(t, x) vérifie l'égalité T(x, s) = 0. Il est relativement simple de montrer que T satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites, ce qui montre que la fonction qui à x associe la courbe intégrale φ(tx) est de classe C1. À partir de là, il est simple d'en déduire le caractère C1[Note 3].

Cet démonstration montre la pertinence du deuxième énoncé, très général, du théorème des fonctions implicites proposé dans cet article. En analyse fonctionnelle et à l'image du résultat de ce paragraphe, il n'est pas inutile de bénéficier de la généralité que confère le fait de choisir les variables dans un Banach.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Existence de la fonction φ[modifier | modifier le code]

Le principe consiste à traduire la question (avec les notations du deuxième énoncé) sous une forme telle qu'il devient possible d'appliquer le théorème d'inversion locale[12]. On considère l'application ψ1, de U dans E × G, définie par :

\forall(x,y)\in U\quad\psi_1(x,y)=(x,f(x,y)).

Cette application est de classe Cp et sa différentielle au point (x0y0) est un isomorphisme bicontinu ; le théorème d'inversion locale montre que ψ1 se restreint en un difféomorphisme de classe Cp entre un ouvert d'arrivée W × X dans E × G, contenant (x0, 0), et un ouvert V de départ dans U, contenant (x0y0) et nécessairement inclus dans W × F.

Ceci se traduit par l'existence d'une application ψ2 de classe Cp, de W × X dans F, vérifiant :

\forall (x,z)\in W\times X\quad(x,\psi_2(x,z))\in V\quad\text{et}\quad\forall (x,y)\in V\quad f(x,y)=z\Leftrightarrow\psi_2(x,z)=y.

L'application φ, de W dans F, qui à x associe ψ2(x, 0), vérifie alors les propriétés annoncées.

Unicité de la fonction φ[modifier | modifier le code]

Soient C un connexe de W contenant x0 et φ1 une application continue de C dans F vérifiant \varphi_1(x_0)=y_0\quad\text{et}\quad\forall x \in C\quad(x,\varphi_1(x))\in U\text{ et }f(x,\varphi_1(x))=0. Alors, le sous-ensemble D de C sur lequel φ1 coïncide avec φ est fermé dans C (par continuité de φ1 et φ) et non vide (il contient x0).

De plus, D est ouvert dans C. En effet, pour tout point x1 de D, (x1, φ1(x1)) = (x1, φ(x1)) appartient à l'ouvert V donc par continuité de φ1, pour xC suffisamment proche de x1, (x, φ1(x)) ∈ V, si bien que φ1(x) est égal à l'unique y tel que (x, y) ∈ V et f(x, y) = 0, à savoir y = φ(x).

Par connexité de C, D est donc égal à C tout entier, c'est-à-dire que φ1 n'est autre que la restriction de φ à C.

Remarque. L'unicité sur un ouvert connexe quelconque (même convexe) contenant x0 est trivialement fausse[2] : si f est définie sur R2 par f(x, y) = x2 – y2 et si x0 = y0 = 1, φ1(x) = x et φ2(x) = |x| sont deux solutions distinctes définies sur R.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le cas général est traité dans l'article détaillé
  2. Pour une définition précise, voir l'article détaillé.
  3. Voir l'article détaillé

Références[modifier | modifier le code]

  1. V. F. Bayart Théorème des fonctions implicites sur le site bibmath.net
  2. a et b Comparer avec (Lang) p. 122
  3. Cet exemple est traité dans E. W. Swokowski, Analyse, De Boeck, 1993, 5eéd. (ISBN 978-280411594-4) p. 147
  4. Il provient de : Cours de deuxième année deug mass - Les fonctions implicites par F. Dupont, de l'université de Brest
  5. Le choix de ce type d'exemple pour illustrer l'intérêt du théorème est fréquent. On trouve un exemple similaire dans p. 54 de Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications par F. Ronga, de l'université de Genève.
  6. Ce sont les restrictions choisies dans l'article, servant de référence au traitement de cet exemple : D. Hoareau Cauchy-Schwarz par le calcul différentiel MégaMaths sur ifrance (2003)
  7. Voir 2.1 : Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]
  8. F. Ronga, op. cit., p. 78
  9. D. Leborgne, Calcul différentiel et géométrie, Puf, 1982, p. 234
  10. C'est pour cette raison que ce résultat est présenté, par exemple dans Conjugaison, redressement et premier tour par C. Viterbo, de l'École Polytechnique.
  11. (Lang) p. 129
  12. Cette démonstration est adaptée de (Lang) p. 123.

Bibliographie[modifier | modifier le code]