Fonction harmonique

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En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Définition

Soit U un ouvert de ℝⁿ. Une application f : U → ℝ est dite harmonique sur U si

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0,$

ce qui s'écrit aussi :

$\nabla^2 f = 0,$

ou encore :

$\Delta f = 0.$

Fonction harmonique sur ℂ

En identifiant ℂ à ℝ², on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

• La partie réelle d'une fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert de ℂ est harmonique.

La réciproque de cette propriété est fausse, par contre on a :

• Soit Ω un ouvert simplement connexe de ℂ ; toute fonction harmonique sur Ω est la partie réelle d'une fonction holomorphe sur Ω.

Articles connexes

• Fonction sous-harmonique
• Harmonique sphérique
• Théorème de Radó