Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable : $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ (où U est un ouvert de $\mathbb{R}^n$) qui satisfait sur U l'équation de Laplace :

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0~.$

On écrit aussi :

$\nabla^2 f = 0~,$

ou encore :

$\Delta f = 0~.$

Un exemple particulier est constitué des fonctions partie réelle et partie imaginaire d'une fonction holomorphe.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Articles connexes

• Harmonique sphérique
• Théorème de Radó