Fonction harmonique

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En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Définition[modifier | modifier le code]

Soit U un ouvert de ℝn. Une application f : U → ℝ est dite harmonique sur U si

\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} +
\cdots +
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0,

ce qui s'écrit aussi :

\nabla^2 f = 0,

ou encore :

\Delta f = 0.

Fonction harmonique sur ℂ[modifier | modifier le code]

En identifiant ℂ à ℝ2, on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

  • La partie réelle d'une fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert de ℂ est harmonique.

La réciproque de cette propriété est fausse, par contre on a :

  • Soit Ω un ouvert simplement connexe de ℂ ; toute fonction harmonique sur Ω est la partie réelle d'une fonction holomorphe sur Ω.

Articles connexes[modifier | modifier le code]