Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction $f$ au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

• d'une fonction polynôme ;
• et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ possède un développement limité d'ordre n (abrégé par DL_n) en $x_0$, s'il existe $n+1$ réels $a_0, a_1, ..., a_n$ et une fonction $R : I \rightarrow \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in I$ :

$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x ) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + R(x )$

avec $R(x )$ qui tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $x_0$, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0$

Les fonctions $R$ vérifiant ceci sont notées $o((x - x_0)^n)$ (voir l'article Notation de Landau). On écrit donc : $f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)$. Note : Le nombre $n$ est appelé ordre de développement.

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant $x = x_0 + h$, on a :

$f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)$, qui se réécrit en $f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)$

Conséquences immédiates

On a $a_0 = f(x_0)$

Démonstration

En utilisant la forme du DL_n en $x_0 : \quad f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)$, on a pour h = 0 :

$f(x_0 + 0) = a_0 + a_1 \cdot 0^1 + ... + a_n \cdot 0^n + 0$

D'où $f(x_0) = a_0$

Si une fonction admet un DL_n au voisinage de $x_0$, alors ce développement est unique.

Démonstration

Soit $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, une fonction admettant un DL d'ordre n en $x_0$. On suppose qu'il existe deux suites de réels $(a_0, a_1, ..., a_n)\ et\ (b_0, b_1, ..., b_n)$ telles que :

$f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o_1(h^n)= \sum_{i = 0}^n b_i \cdot h^i + o_2(h^n)$

On a alors :

$a_0 = f(x_0) = b_0 \qquad pour\ h = 0,$

$a_1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0}{h} = b_1$

$a_2 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0 - a_1 \cdot h}{h^2} = b_2$

...

$a_n = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - \sum_{j = 0}^{n - 1} a_j \cdot h^j}{h^n} = b_n$

Et donc :

$a_i = b_i \quad \forall i \in \{1..n\}$

D'où il y a unicité d'un tel développement limité.

Note : La fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme

Si ƒ et g possèdent deux DL_n, alors ƒ + g possède un DL_n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.

Multiplication par un scalaire

si ƒ possède un DL_n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le DL_n de ƒ par λ.

Produit

Si ƒ et g possèdent des DL_n, alors ƒ·g possède un DL_n. Si a_k, b_k et c_k sont les coefficients de x^k dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient c_k est obtenu par la formule suivante :

$c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,$

Inverse

Si u(x₀) = 0 et si u possède un DL_n au voisinage de x₀, alors $\frac{1}{1 - u}$ possède un DL_n. Ce développement limité se trouve en cherchant un DL_n de $\sum_{k=0}^n u^k$.

Composition

si u possède un DL_n au voisinage de x₀ et si v possède un DL_n au voisinage de u(x₀), alors v o u possède un DL_n au voisinage de x₀ qui s'obtient en cherchant un DL_n de Q_n o P_n où P_n et Q_n sont les DL_n de u et v

Exemple : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de $e^{\frac{1}{1-x}}$

DL₂ au voisinage de 1 de $e^x$ :

$e^x = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} + o((x - 1)^2))$

remarque : le DL au voisinage de 1 de $e^x$ se trouve en remarquant que $e^x = e^.e^{x-1}$ et en utilisant le DL de $e^h$ au voisinage de 0

DL₂ au voisinage de 0 de $\frac{1}{1-x}$ :

$\frac{1}{1-x} = 1 + x +x^2 + o(x^2)$

DL₂ au voisinage de 0 de $e^{\frac{1}{1-x}}$:

$e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2))$

$e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x +\frac{3}{2} x^2 + o(x^2))$

Intégration

Si ƒ est continue sur un intervalle I autour de x₀ et possède un DL_n au voisinage de x₀, alors toute primitive F de ƒ possède un DL_n+1 au voisinage de x₀ qui est

$F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}$

Dérivation

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DL_{n - 1} pour la dérivée d'une fonction admettant un DL_n au voisinage de x₀.

Par exemple, la fonction définie par

$f(x) = x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pour tout x non nul et ƒ(0) = 0

possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0, mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de DL₁ .

Par contre, si f' admet un DL d'ordre n-1 en x_o, alors la partie régulière du DL de f' est la dérivée de la partie régulière du DL d'ordre n de f en x_o.

Développement limité et fonctions dérivables

Article détaillé : Théorème de Taylor.

Brook Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x₀, possédait un DL_n au voisinage de x₀ :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$

soit en écriture abrégée

$f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)$

En revanche, le fait qu'une fonction possède un DL_n au voisinage de x₀ n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x₀. On peut juste déduire, de l'existence d'un DL₀ au voisinage de x₀, la continuité en x₀, et, de l'existence d'un DL₁ au voisinage de x₀, la dérivabilité en x₀. Par contre si la dérivée de f admet un DL d'ordre n-1 en x₀ alors la partie régulière du DL de $f'$ est la dérivée de la partie régulière du DL d'ordre n de f en x₀ .

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 revient à écrire que ƒ est continue en x₀ :

$f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)$

Le développement limité d'ordre un revient à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0)$.

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x₀.

Le développement limité d'ordre 2 revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable $h = \frac{1}{x}$ permet, à l'aide d'un DL₀ au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL₁ au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL₂ permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

Quelques exemples

Fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des DL_n au voisinage de 0 pour tout entier n.

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i+ \frac{x^{n+1}}{1-x}=\sum_{i=0}^n x^i+ o(x^n)$ (une conséquence en est la somme de la série géométrique).
• $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k-1}}kx^k + o(x^{n+1})$ par intégration de la formule précédente, changement de x en -x et changement d'indice k = i + 1
• $e^{x} = \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^{i} + o(x^n)$ (en utilisant la formule de Taylor)
• $\sin(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1} + o(x^{2n+2})$ à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en $x^{2n+2}$ est nul (comme tous les autres termes de puissance paire), donc $o(x^{2n+1})=o(x^{2n+2})$.
• $\cos(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1})$ ; c'est un DL à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en $x^{2n+1}$ est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc $o(x^{2n})=o(x^{2n+1})$.
• $(1+x)^a = 1+\sum_{i=1}^n \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}^{i-1} (a-j)\right)x^i + o(x^n)$

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Développement limité au voisinage de 0 de fonctions usuelles :

• $(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

• $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)$

• $\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$

• $\ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})$

• $\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})$

• $e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

• $\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• $\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• $\tan(x) = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} +o(x^{2n})$, où les $B_n$ sont les nombres de Bernoulli.

• ${\rm ch}(x) = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• ${\rm sh}(x) = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm th}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$

• ${\rm Arcsin}(x) = x+\frac{x^3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Arccos}(x) = \frac\pi 2-x-\frac{x^3}{2 \cdot 3}-\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}-\cdots-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Argsh}(x) = x-\frac{x^3}{2 \cdot 3}-\cdots+(-1)^n\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Arctan}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Argth}(x) = x+\frac{x^3}{3}+ \cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$

Approximations linéaires : développements limités d'ordre un

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1, qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision :

en 0 : $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\,x + o(x)$, en particulier

• $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x + o(x)$,
• $\frac1{1 + x} = 1 - x + o(x)$.

De plus, on a les

Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriques

• à l'ordre 2 :
  • $\sin x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arcsin }~x = x + o(x^2)$
  • $\tan x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arctan }~x = x + o(x^2)$

ces formules étant souvent connues sous le nom d’approximations des petits angles, et

• à l'ordre 3 :

$\cos x = 1- \frac{x^2}2 + o(x^3)~$.

Articles connexes

• Continuité
• Dérivation itérée
• Série de Taylor
• Théorème de Taylor
• Série entière
• Interpolation polynomiale
• Approximation linéaire
• Développement asymptotique