Développement limité

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction f en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point,c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

  • d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ;
  • et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction à valeurs réelles[1] définie sur un intervalle I, et x_0 \in I. On dit que f admet un développement limité d'ordre n[2] (abrégé par DLn) en x_0, s'il existe n+1 réels a_0, a_1, ..., a_n et une fonction R : I \rightarrow \mathbb{R} tels que \forall x \in I :

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x ) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + R(x )
avec R(x ) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x_0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :
\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0.

Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x - x_0)^n) (voir l'article Comparaison asymptotique, et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + o((x - x_0)^n).

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x_0 + h :

f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_ih^i + o(h^n).
Conséquences immédiates
Si une fonction admet un DLn au voisinage de x_0, alors ce développement est unique et a_0 = f(x_0).

Opérations sur les développements limités[modifier | modifier le code]

Dans cette section, on identifie parfois, par abus de langage[2], le DLn avec le polynôme (appelé aussi la partie régulière du développement limité) dont l'unicité a été démontrée dans la section précédente.

Somme
Si f et g admettent deux DLn, alors f + g admet un DLn qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
Multiplication par un scalaire
si f admet un DLn alors λf aussi, obtenu en multipliant le DLn de f par λ.
Produit
Soient f et g deux applications admettant en 0 des DLn, de parties régulières respectives P et Q.
Alors fg admet en 0 un DLn, dont la partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1.
Inverse
Si u(x0) = 0 et si u admet un DLn en x0, alors \frac1{1 - u} admet un DLn. Ce développement limité se trouve en cherchant un DLn de  \sum_{k=0}^n u^k.
Quotient
On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.
Composition
si u admet un DLn en x0 et si v admet un DLn en u(x0), alors vu possède un DLn en x0 qui s'obtient en cherchant un DLn de QnPnPn et Qn sont les DLn de u et v
Exemple : DL2 en 0 de {\rm e}^{\frac1{1-x}}
DL2 en 1 de ex :
{\rm e}^x={\rm e}\cdot\left(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}2+ o((x - 1)^2)\right)
(ce DL se trouve en remarquant que {\rm e}^x={\rm e}\cdot{\rm e}^{x-1} et en utilisant le DL de eh en 0).
DL2 en 0 de \frac1{1-x} :
\frac1{1-x}  = 1 + x +x^2 + o(x^2).
DL2 en 0 de {\rm e}^{\frac1{1-x}} :
\begin{align}
{\rm e}^{\frac1{1-x}}&={\rm e}\cdot\left(1 + (x  + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2)\right)\\
&={\rm e}\cdot\left(1 + x  +\frac32x^2 + o(x^2)\right).
\end{align}
Intégration (cf. le lemme dans la démonstration de la formule de Taylor-Young)
Si f admet un DLn en x0, alors toute primitive F de f admet un DLn + 1 en x0 qui est
F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}+o((x-x_0)^{n+1}).
Dérivation
Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn + 1 en x0.
Par exemple, la fonction définie par
f(x) = x^3\sin\left(\frac1{x^2}\right) pour tout x non nul et f(0) = 0
admet un DL2 en 0 (il s'agit de 0 + o(x2)), mais sa dérivée, non continue, n'admet pas de DL1 .
Par contre, comme déjà dit, si F' admet un DLn en x0, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DLn + 1 de F en x0.

Développement limité et fonctions dérivables[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Taylor-Young.

La formule de Taylor-Young assure qu'une fonction f, dérivable n fois au point x0, admet un DLn en ce point :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+  \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n  + o((x-x_0)^n)

soit en écriture abrégée

f(x) = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

On le démontre par récurrence sur n, grâce au fait que si la dérivée de f admet un DLn – 1 en x0, alors f admet un DLn en x0, et la partie régulière du DLn – 1 de f' est la dérivée de la partie régulière du DLn de f.

En revanche, le fait qu'une fonction admette un DLn en x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0 (par exemple xx3sin(1/x) – prolongée par continuité en 0 – admet, en 0, un DL2 mais pas de dérivée seconde). On peut juste déduire, de l'existence d'un DL0 en x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un DL1 en x0, la dérivabilité en x0.

Quelques utilisations[modifier | modifier le code]

Le développement d'ordre 0 revient à écrire que ƒ est continue en x0 :

f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)

Le développement limité d'ordre un revient à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0).

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.

Le développement limité d'ordre 2 revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable h = \frac{1}{x} permet, à l'aide d'un DL0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des DLn au voisinage de 0 pour tout entier n.

  • \frac1{1-x}=\sum_{i=0}^n x^i+\frac{x^{n+1}}{1-x}=\sum_{i=0}^nx^i+o(x^n) (une conséquence en est la somme de la série géométrique).
  • \ln(1+x) = \sum_{k=1}^m\frac{(-1)^{k-1}}kx^k+o(x^m) par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
  • e^x=\sum_{i=0}^n\frac1{i!}x^i+ o(x^n) (en utilisant la formule de Taylor)
  • \sin(x)=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}+o(x^{2n+2}) à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en x^{2n+2} est nul (comme tous les autres termes de puissance paire) et o(x^{2n+2})=o(x^{2n+1}).
  • \cos(x)=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1}) à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en x^{2n+1} est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire) et o(x^{2n+1})=o(x^{2n}).
  • (1+x)^a=1+\sum_{i=1}^n\frac1{i!}\left(\prod\limits_{j=0}^{i-1}(a-j)\right)x^i+o(x^n).

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire[modifier | modifier le code]

Développement limité au voisinage de 0 de fonctions usuelles :

Approximations affines : développements limités d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Approximation affine.

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés « approximations affines », ou « approximations affines tangentes »), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au voisinage de a, par :

f(x) = f(a) +(x-a)f'(a) +  o(x-a)

(on retrouve ainsi l'équation de la tangente au graphe de f).

En particulier, on a, au voisinage de 0 :

  • (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\,x +  o(x) et donc
    • \frac1{1 + x} = 1 - x +  o(x) et
    • \sqrt{1 + x} = 1 + \frac12x +  o(x)~;
  • \ln(1 + x) =  x +  o(x)~;
  • e^x = 1 +  x +  o(x).

Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

  • à l'ordre 2 :
    • \sin x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arcsin }~x = x + o(x^2)
    • \tan x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arctan }~x = x + o(x^2)

ces formules étant souvent connues sous le nom d’approximations des petits angles, et

  • à l'ordre 3 :

\cos x = 1- \frac{x^2}2 + o(x^3)~.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. La notion de développement limité peut se généraliser au cas où la fonction f est à valeurs complexes ou vectorielles, mais ce cas n'est pas abordé dans cet article ; pour d'autres généralisations, voir l'article développement asymptotique.
  2. a et b J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome II, Analyse, 4ème éd., 1977, p. 148, définition IV.7.2 ; le polynôme lui-même (qui est unique s'il existe) est appelé par eux développé limité de f, et noté DLn(f) ou, si la précision est nécessaire, DLn(f, x0).

Articles connexes[modifier | modifier le code]