Forme différentielle exacte

En analyse, une forme différentielle est dite exacte (ou totale) s'il existe une forme différentielle dont elle est la dérivée extérieure, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer. En résumé, une forme différentielle ω est exacte s'il existe une forme Q telle que

$\int _{a}^{b}\omega =Q(b)-Q(a)$, indépendamment du chemin d'intégration de a à b.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C¹ est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

Une 1-forme ω définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction F différentiable sur U telle que ω = dF autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel ω est le produit scalaire est un champ de gradient.

En thermodynamique, quand une 1-forme différentielle ω est exacte, donc de la forme dF, la fonction F est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques énergie interne U, entropie S, enthalpie H, énergie libre F ou A et enthalpie libre G sont des fonctions d'état. Généralement ni le travail W, ni la chaleur Q ne sont des fonctions d'état.

D'après le lemme de Poincaré, sur un ouvert simplement connexe, une 1-forme différentielle de classe C¹ est exacte si (et seulement si) elle est fermée.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact differential » (voir la liste des auteurs).
• (en) P. Perrot, A to Z of Thermodynamics, New York, Oxford University Press, 1998
• (en) D. Zill, A First Course in Differential Equations, 5^e éd., Boston, PWS-Kent Publishing, 1993

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Exact Differential », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Inexact Differential », sur MathWorld
• (en) Exact and Inexact Differentials sur le site de W. R. Salzman, au département de chimie de l'université d'Arizona
• (en) Exact and Inexact Differentials sur le site de Richard Fitzpatrick, professeur de physique à l'université du Texas à Austin