Différentielle exacte

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En analyse, une forme différentielle est dite exacte s'il existe une forme différentielle dont elle est la dérivée extérieure, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer. En particulier, une forme différentielle \omega de degré 1 définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction f différentiable sur U telle que \omega  = \mathrm df,.

Première approche[modifier | modifier le code]

En une dimension, une forme différentielle

\omega = A(x)\mathrm dx\,

est toujours exacte.

En deux dimensions, d'après le théorème de Schwarz et le lemme de Poincaré, une forme différentielle

\omega = A(x, y)\mathrm dx + B(x, y)\mathrm dy\,

est exacte sur un ouvert simplement connexe U du plan ℝ2 si et seulement si elle est fermée, c'est-à-dire qu'il existe entre A et B la relation:

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x} = \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y}

En trois dimensions, une forme différentielle

\omega = A(x, y, z)\mathrm dx + B(x, y, z)\mathrm dy + C(x, y, z)\mathrm dz\,

est exacte sur un ouvert simplement connexe U de l'espace ℝ3 s'il existe entre les fonctions A, B et C les relations :

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x,z} \!\!\!= \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y,z}   ;   \left( \frac{\partial A}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial x} \right)_{y,z}   ;   \left( \frac{\partial B}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial y} \right)_{x,z}

Ces conditions, qui sont faciles à généraliser, reposent sur l'indépendance de l'ordre de différentiation dans le calcul des dérivées secondes (théorème de Schwarz). Donc en dimension quatre, pour qu'une forme différentielle \omega, qui est une fonction de quatre variables, soit une différentielle exacte, il y a six conditions à satisfaire.

En résumé, une forme différentielle \omega est exacte s'il existe une forme Q telle que \int_i^f\omega=Q(f)-Q(i), indépendamment du chemin d'intégration de i à f.

En thermodynamique, quand une 1-forme différentielle \omega est exacte, donc de la forme \mathrm dF, la fonction F est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques énergie interne U, entropie S, enthalpie H, énergie libre F ou A et enthalpie libre G sont fonctions d'état. Généralement ni le travail, W ni la chaleur, Q ne sont des fonctions d'état.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact differential » (voir la liste des auteurs)
  • (en) P. Perrot, A to Z of Thermodynamics, New York (1998), Oxford University Press
  • (en) D. Zill, A First Course in Differential Equations, 5th Ed., Boston (1993), PWS-Kent Publishing Company

Liens externes[modifier | modifier le code]