Théorème de Noether (physique)

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Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ».

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Autrement dit :

Soit q^{i(s)} , un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre s . Si le lagrangien L est indépendant de s , c'est-à-dire  L(q^{i(s)},\dot q^{i(s)},t)=L(q^i,\dot q^i,t) avec q^{i(0)}=q^i , alors :

 I(q^i,\dot q^i)=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}

est une intégrale première, c'est-à-dire que \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\frac{\partial I}{\partial t}+\{I,H\}=0 , où H désigne l'hamiltonien associé à L et où \{I,H\} utilise la notation du crochet de Poisson.

Démonstration[modifier | modifier le code]

 \frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\partial L}{\partial q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d \dot q^{i(s)}}{\mathrm ds}

 \frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds} (en utilisant les équations d'Euler-Lagrange)

 \frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d q^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{\forall\,s}\right)=0

 \frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}\right)=0

Remarque[modifier | modifier le code]

Le théorème s'applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique.

Applications[modifier | modifier le code]

Symétries d'espace-temps, dites « externes  »[modifier | modifier le code]

  • L'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie ;
  • L'invariance par translation dans l'espace selon une direction x^i entraîne la conservation de la quantité de mouvement p_i dans la même direction ;
  • L'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment cinétique (ou moment angulaire).

Symétries internes[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Amaury Mouchet, L'élégante efficacité des symétries, chap 10, Dunod, 2013 (ISBN 9782100589371) 240 pages
  • (en) Nina Byers, « E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws », Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan, Israël,‎ 2-4 décembre 1996, Texte en accès libre sur arXiv : physics/9807044.
  • (en) G.Sardanashvily (en), Noether conservation laws in classical mechanics, 2003. Texte en accès libre sur arXiv : math-ph/0302027.
  • (en) G.Sardanashvily, Noether conservation laws in quantum mechanics, 2003. Texte en accès libre sur arXiv : quant-ph/0302123.
  • Yvette Kosmann-Schwarzbach (de), Les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXe siècle. Avec une traduction de l'article original, "Invariante Variationsprobleme", avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2ème éd., 2004

Liens externes[modifier | modifier le code]