Méthode des caractéristiques

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En mathématiques, la méthode des caractéristiques est une technique permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. Particulièrement adaptée aux problèmes de transport, elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides ou le transport de particules.

Dans certains cas particuliers, la méthode des caractéristiques peut permettre la résolution purement analytique de l'EDP. Dans les cas plus complexes (rencontrés par exemple en modélisation des systèmes physiques), la méthode des caractéristiques peut être utilisée comme une méthode de résolution numérique du problème.

Méthode analytique[modifier | modifier le code]

Principe général[modifier | modifier le code]

Pour une équation aux dérivées partielles (EDP) du premier ordre, la méthode des caractéristiques cherche des courbes (appelées « lignes caractéristiques », ou plus simplement « caractéristiques ») le long desquelles l'EDP se réduit à une simple équation différentielle ordinaire (EDO). La résolution de l'EDO le long d'une caractéristique permet de retrouver la solution du problème original.

Exemple : Résolution analytique de l'équation de transport[modifier | modifier le code]

On cherche une fonction u:

u: (x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+ \mapsto u(x,t)\in\mathbb{R}

solution du problème suivant :

\left\{\begin{array}{l l}
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad & (x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\\
u(x,0) = u_0(x), & x\in\mathbb{R}
\end{array}\right.

dans laquelle \textstyle c est une constante.

On cherche une ligne caractéristique \textstyle\left(x(s), t(s)\right) le long de laquelle cette EDP du premier ordre se réduirait à une EDO. Calculons la dérivée de u le long d'une telle courbe :


\frac{d}{ds}u\left(x(s), t(s)\right) = \frac{dx(s)}{ds}\,\frac{\partial u}{\partial x}\left(x(s), t(s)\right) + \frac{dt(s)}{ds}\,\frac{\partial u}{\partial t}\left(x(s), t(s)\right).

On remarquera aisément qu'en imposant \textstyle\frac{dt}{ds} = 1 et \textstyle\frac{dx}{ds} = c, on obtient :

\frac{du}{ds} = \frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0.

La solution de l'équation reste donc constante le long de la ligne caractéristique.

Il vient ainsi trois équations différentielles ordinaires à résoudre :

  • \frac{dt}{ds} = 1: en posant \textstyle t(0)=0, on obtient :
\forall s\in\mathbb{R}^+, \quad t(s)=s
  • \frac{dx}{ds} = c: en notant \textstyle x(0)=x_0, on obtient :
\forall s\in\mathbb{R}^+, \quad x(s)=x_0+c\,s=x_0+c\,t
  • \frac{du}{ds} = 0:
\forall s\in\mathbb{R}^+, \quad u(s) = u(0) = u(x_0,0) = u_0(x_0)

Dans ce cas, les lignes caractéristiques sont donc des droites de pente \textstyle c, le long desquelles la solution reste constante. La valeur de la solution en un point \textstyle (x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+ peut donc être retrouvée en cherchant la valeur de la condition initiale \textstyle u_0 à l'origine \textstyle x_0=x-c\,t de la ligne caractéristique :

\forall (x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+,\quad u(x,t) = u_0(x-c\,t).

Cadre général des opérateurs différentiels linéaires[modifier | modifier le code]

Soit X une variété différentiable et P un opérateur différentiel linéaire de C^\infty(X) dans lui-même d'ordre k. En se donnant un système de coordonnées xi, P peut s'écrire sous la forme

P = \sum_{|\alpha|\le k} P^{\alpha}(x)\frac{\partial}{\partial x^\alpha}

où α désigne un multi-indice. Le symbole principal de P, noté σP, est la fonction sur le fibré cotangent TX défini dans un système de coordonnées local ξi par

\sigma_P(x,\xi) = \sum_{|\alpha|=k} P^\alpha(x)\xi_\alpha

où les coordonnées ξi sont induites par les différentielles dxi respectivement. Ceci permet d'assurer que σP est bien défini sur le fibré.

La fonction σP est homogène de degré k en ξ. Ces zéros, hors de la section nulle de TX, sont les caractéristiques de P. Une hypersurface de X définie par l'équation F(x) = c est appelée hypersurface caractéristique en x si

\sigma_P(x,dF(x)) = 0.