Transformation de Legendre

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La transformation de Legendre est une opération mathématique qui, schématiquement, transforme une fonction définie par sa valeur en un point en une fonction définie par sa tangente. Elle tire son nom du mathématicien Adrien-Marie Legendre.

Les cas classiques d'utilisation de la transformation de Legendre se rencontrent en thermodynamique et en mécanique lagrangienne. En thermodynamique, elle permet de calculer le potentiel thermodynamique adapté à des conditions particulières. En mécanique, elle permet de passer du lagrangien à l'hamiltonien.

Introduction[modifier | modifier le code]

Une fonction f(.) peut-être représentée de plusieurs façon. La façon la plus usuelle est de la représenter par la valeur y=f(x) que prend la fonction en un point x. La courbe (x,y) représente géométriquement la fonction f().

De nombreux problèmes peuvent être plus facilement résolus si on représente différemment la fonction $f(.)$. Ceci est par exemple le cas de la transformation de Fourier, où la fonction est représentée par ses coefficients de fourier f^*(q). Les transformées de Fourier font partie d'une classe générale qu'on appelle les transformations intégrales.

La transformation de Legendre[modifier | modifier le code]

Une autre façon de représenter un fonction que l'on suppose convexe pour l'instant est d'utiliser non pas l'intégrale, mais la dérivée de la fonction. Donnons nous une droite  \Delta de pente  p et trouvons le point  (x,y) où la droite tangente la courbe de la fonction. Repérons l'ordonnée  u où la droite  \Delta croise l'axe  y . Etant donnée la fonction convexe f(.) , à chaque valeur de  p correspond une valeur de u, ce que l'on peut noter par

 u=g(p)

La fonction g(.) est appelé la transformée de Legendre de la fonction f(.).

la transformée de Legendre  u=g(p) de la fonction  y=f(x)

La courbe (p,u) a exactement la même information que la courbe (x,y). Ceci veut dire que si nous connaissons f, nous pouvons déduire la fonction g. Inversement, si l'on connait g, nous pouvons déduire f. Nous verrons ci-dessous que f est elle même la transformée de Legendre de g.

Concrètement, soit  (x^*,f(x^*)) le point où la droite de pente \Delta est tangente à la courbe. L'équation de la droite s'écrit donc

 y-f(x^*) = p(x-x^*)

et la droite  \Delta croise l'axe  y au point d'ordonnée

 u= f(x^*) - p x^*

 p=f'(x^*)

Les notations sont parfois un peu déroutant. Quand on note  g(p)= f(x^*)-p x^* , la variable est bien  p  ;  x^* est elle même une fonction de  p via la relation  f'(x^*)=p. Il serait plus précis d'écrire

 g(p)=f[ f'^{-1}(p)] - p f'^{-1}(p)

mais la notation serait beaucoup plus lourde.

Exemple fondamental[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(x)=(x^2)/2. Soit la droite \Delta de pente p. Cette droite est tangente à la courbe (x,f(x) ) au point d'abscisse x^*=p. L'équation de la droite tangente dans le plan (x,y) est

y-p^2/2=p(x-x^*)

La droite \Delta croise donc l'axe y à u=-p^2/2. La transformée de Lengendre de la fonction f(x)=x^2/2 est donc g(p)=-p^2/2.

En généralisant, il n'est pas difficile de démontrer que si f(x)=x^n/n, alors

 g(p) = -\frac{n-1}{n} p^\frac{n}{n-1}

Transformée de Legendre et Enveloppe.[modifier | modifier le code]

la fonction  f() est l'enveloppe des droites \Delta

Donnons nous dans le plan cartésien une famille de droites \Delta paramétrées par leurs pentes p et passant par le point (0,g(p)) sur l'axe y ;  g() est la transformée de Legendre de  f(). L'équation de ces droites, paramétré par  p est donc

 y = g(p) + p x

D'après notre définition de la transformée de Legendre, la courbe de la fonction  f() est l' enveloppe de ces droites.

Par ailleurs, l'équation d' enveloppe est donnée par

 h(x)= g(p) + p x

 p est une fonction de x telle que

g'(p)=-x

Comme  h(x)=f(x) , nous voyons que la fonction f() est la transformée de Legendre de la fonction g(). Comme pour d'autres transformations, une inversion de signe est necessaire pour la deuxième transformation.

Le concept d'enveloppe peut-être utilisée pour définir les transformées de Legendre de façon purement géométrique.

Transformée de Legendre et Optimisation.[modifier | modifier le code]

Transformation de Legendre et minimisation.

La transformée de Legendre peut être également interprétée comme une opération de minimisation. Cette deuxième interprétation est très utilisée par exemple en thermodynamique. Considérons la courbe y=f(x) et la droite  y= p x . Etant donnée la pente p, quelle valeur de  x minimise t'elle leurs différence ? En d'autres termes, étant donnée  p , pour quelle valeur de x, la fonction

 h(x,p) = f(x) - p x

est minimum ?

Il évident qu'en prenant la dérivée partielle par rapport à  x de la fonction h(x,p), nous aboutissons à la relation

 f'(x^*)=p .

Pour cette valeur  x^* , la différence entre les deux fonctions est donc

 g(p) = f(x^*) - p x^*

Nous voyons que la fonction  g() n'est rien d'autre que la transformée de Legendre que nous avons définie plus haut.

Convention de signe[modifier | modifier le code]

Comme pour les autres transformations intégrales, il n'y a pas de convention unique sur les signes. On peut voir indifféremment  g(p)=f(x)-px ou  g(p)=px-f(x) ou  f(x)+px ...

Applications en physique[modifier | modifier le code]

Thermodynamique[modifier | modifier le code]

Prenons d'abord un exemple simple. Supposons que l'on connaisse l'énergie libre d'un système  F(V,T,...) pour toute température et volume fixée (penser: gaz parfait dans un cylindre à volume fixe).

Nous allons mettre en contact notre système avec un réservoir de pression (une force constante par unité de surface) et laisser libre le volume (penser: piston capable de se mouvoir dans le cylindre pour ). L'énergie libre de notre système est maintenant

 G(V,T,p,...) = F(V,T,...) + pV

 F() est toujours notre énergie libre à volume fixe, pV le travail effectué. Le principe du minimum en thermodynamique nous affirme que le volume  V va varier (penser: le gaz se détend ou se compresse) jusqu'à atteindre une valeur d'équilibre V^* telle que l'énergie libre soit minimum. Dans ce cas,  V^* est une fonction de p,T,... est l'énergie libre vaut

 G(T,p,...) = F(V^*,T,...) + pV^*

 V^* est tel que

 p = - \partial F/\partial V

Nous voyons donc que  G(T,p,...) est la transformée de Legendre de l'énergie libre  F(V,T,...) par rapport à la variable  V . On appelle d'ailleurs  G enthalpie libre.

De façon générale, considérons l'énergie libre d'un système  F(T,X_1,X_2,...X_n) où les  X_i sont des paramètres extensifs. La variable conjuguée au paramètre extensif  X_i est

 x_i = -\partial F/\partial X_i

Si maintenant nous mettons notre système en contact avec un réservoir de  X_i à  x_i fixée, la quantité extensive  X_i va évoluer pour minimiser la quantité

\Phi = F(T,X_1,X_2,...X_n) + x_i X_i

 x_i X_i est le travail effectué par le changement de  X_i. Le nouveau potentiel thermodynamique  \Phi dépend du paramètre intensif  x_i et non du paramètre extensif  X_i. Nous pouvons ainsi passer d'un potentiel thermodynamique à un autre en prenant des transformée de Legendre successif. Le choix du potentiel thermodynamique adéquat pour un problème se fait en fonction des paramètres (intensif ou extensif) que l'expérimentateur peut contrôler.

Les délices des définitions de la thermodynamique font que le signe de la variable conjuguée  x_i n'est pas toujours - la dérivée partielle , mais parfois  + . Il faut prendre cela en compte lors des passages entre les potentiels.

Cas du formalisme hamiltonien en mécanique classique[modifier | modifier le code]

Le rapport entre le formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien en mécanique classique évoque de façon immédiate la transformée de Legendre. Partons du lagrangien :

\mathcal{L}= \mathcal{L} ( q_i, \dot{q}_i, t)

qui est une fonction des coordonnées généralisées q_i, des vitesses généralisées \dot{q}_i et du temps t. Définissons p_i, le moment généralisé associé à la coordonnée généralisée q_i par:


p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\dot q_i}}

On définit alors le hamiltonien, \mathcal{H} (q_i, p_i, t), par :

 \mathcal{H} =\sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}

qui est la transformée de Legendre du lagrangien.

Annexes[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • RKP Zia, Edward F Redish et Susan R Mckay, « Making Sense of the Legendre Transform » texte intégral
  • Robert A. Alberty, « Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics (IUPAC Technical Report) » abstract