Fonction hypergéométrique confluente

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La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) est : _1F_1(a;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(c)_n } \frac{z^n}{n!}(a)_n désigne le symbole de Pochhammer.

Elle est solution de l'équation différentielle d'ordre deux : z \frac{d^2 u(z)}{dz^2} + (c-z)\frac{du(z)}{dz} -a u(z) = 0

Les fonctions de Bessel, la fonction gamma incomplète, les fonctions cylindre parabolique (en) et les polynômes de Laguerre peuvent être représentés à l'aide de fonctions hypergéométriques confluentes (cf. Slater). Whittaker a introduit des fonctions M_{\mu,\nu}(z) et W_{\mu,\nu}(z) qui sont également liées aux fonctions hypergéométriques confluentes.

Résolution de l'équation différentielle[modifier | modifier le code]

L'équation z \frac{d^2 u(z)}{dz^2} + (c-z)\frac{du(z)}{dz} -a u(z) = 0 peut être résolue à l'aide de la méthode de Frobenius, on choisit l'ansatz:

u(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}{ a_n z^{n+r}}, \qquad (a_0 \neq 0), r \in \mathbb{R}.

Il vient l’équation:

z^r\sum_{n=0}^{+\infty}a_n [ \left( (n+r)(n+r-1)+c(n+r)  \right)z^{n-1}-\left( (n+r)+a \right) z^n ] = 0

qui devient

z^{r-1} a_0 r c +z^r\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1} [ \left( (n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)  \right)z^{n}]-a_n\left( (n+r)+a \right) z^n  = 0 .

Comme le coefficient devant z^{r-1} ne peut pas être annuler par un membre de la somme, il doit être nul, ainsi on trouve que r=0 . On peut donc trouver une relation de récurrence entre les coefficients:

a_{n+1}= \frac{a_n(n+a)}{(n+1)(n+c)} .

On choisit a_0=1 et on trouve par exemple:

a_1=\frac{a}{c} \quad a_2 =\frac{a(a+1)}{2 c(c+1)} \quad  a_3 =\frac{a(a+1(a+2)}{ 6 c(c+1)(c+2)}  \quad ... \quad a_n= \frac{(a)_n}{(c)_n n!}  ,

et finalement u(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(c)_n } \frac{z^n}{n!} qui est bien la fonction hypergeometrique.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]