Fonction hypergéométrique confluente

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La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) est : désigne le symbole de Pochhammer.

Elle est solution de l'équation différentielle d'ordre deux :

Les fonctions de Bessel, la fonction gamma incomplète, les fonctions cylindre parabolique (en) et les polynômes de Laguerre peuvent être représentés à l'aide de fonctions hypergéométriques confluentes (cf. Slater). Whittaker a introduit des fonctions et qui sont également liées aux fonctions hypergéométriques confluentes.

Résolution de l'équation différentielle[modifier | modifier le code]

L'équation peut être résolue à l'aide de la méthode de Frobenius, on choisit l'ansatz :

Il vient l’équation :

qui devient

.

Comme le coefficient devant ne peut pas être annuler par un membre de la somme, il doit être nul, ainsi on trouve que . On peut donc trouver une relation de récurrence entre les coefficients :

.

On choisit et on trouve par exemple,:

,

et finalement qui est bien la fonction hypergéométrique.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]