Fonction hypergéométrique confluente. La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer ) est :
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
c
)
n
z
n
n
!
{\displaystyle _{1}F_{1}(a;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
(
a
)
n
{\displaystyle (a)_{n}}
symbole de Pochhammer .
Elle est solution de l'équation différentielle d'ordre deux, appelée équation de Kummer :
z
d
2
u
(
z
)
d
z
2
+
(
c
−
z
)
d
u
(
z
)
d
z
−
a
u
(
z
)
=
0
{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}u(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-z){\frac {\mathrm {d} u(z)}{\mathrm {d} z}}-au(z)=0}
Elle est aussi définie par :
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
=
M
(
a
;
c
;
z
)
=
{\displaystyle _{1}F_{1}(a;c;z)=M(a;c;z)=}
1
B
(
a
,
c
−
a
)
∫
0
1
u
a
−
1
(
1
−
u
)
c
−
a
−
1
e
z
u
d
u
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} (a,c-a)}}{\int _{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{c-a-1}\mathrm {e} ^{zu}\,du}}
fonctions de Bessel , la fonction gamma incomplète , les fonctions génératrices des moments des distributions bêta et bêta prime , les fonctions cylindre parabolique ou encore les polynômes d'Hermite et les polynômes de Laguerre peuvent être représentés à l'aide de fonctions hypergéométriques confluentes (cf. Slater). Whittaker a introduit des fonctions
M
μ
,
ν
(
z
)
{\displaystyle M_{\mu ,\nu }(z)}
W
μ
,
ν
(
z
)
{\displaystyle W_{\mu ,\nu }(z)}
L'équation
z
d
2
u
(
z
)
d
z
2
+
(
c
−
z
)
d
u
(
z
)
d
z
−
a
u
(
z
)
=
0
{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}u(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-z){\frac {\mathrm {d} u(z)}{\mathrm {d} z}}-au(z)=0}
méthode de Frobenius , on choisit l'ansatz :
u
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
a
n
z
n
+
r
,
(
a
0
≠
0
)
,
r
∈
R
.
{\displaystyle u(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}z^{n+r}},\qquad (a_{0}\neq 0),r\in \mathbb {R} .}
Il vient l’équation :
z
r
∑
n
=
0
+
∞
a
n
[
(
(
n
+
r
)
(
n
+
r
−
1
)
+
c
(
n
+
r
)
)
z
n
−
1
−
(
(
n
+
r
)
+
a
)
z
n
]
=
0
{\displaystyle z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}[\left((n+r)(n+r-1)+c(n+r)\right)z^{n-1}-\left((n+r)+a\right)z^{n}]=0}
qui devient
z
r
−
1
a
0
r
c
+
z
r
∑
n
=
0
+
∞
a
n
+
1
[
(
(
n
+
r
+
1
)
(
n
+
r
)
+
c
(
n
+
r
+
1
)
)
z
n
]
−
a
n
(
(
n
+
r
)
+
a
)
z
n
=
0
{\displaystyle z^{r-1}a_{0}rc+z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n+1}[\left((n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)\right)z^{n}]-a_{n}\left((n+r)+a\right)z^{n}=0}
Comme le coefficient devant
z
r
−
1
{\displaystyle z^{r-1}}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
relation de récurrence entre les coefficients :
a
n
+
1
=
a
n
(
n
+
a
)
(
n
+
1
)
(
n
+
c
)
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}(n+a)}{(n+1)(n+c)}}}
On choisit
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
a
1
=
a
c
a
2
=
a
(
a
+
1
)
2
c
(
c
+
1
)
a
3
=
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
6
c
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
.
.
.
a
n
=
(
a
)
n
(
c
)
n
n
!
{\displaystyle a_{1}={\frac {a}{c}}\quad a_{2}={\frac {a(a+1)}{2c(c+1)}}\quad a_{3}={\frac {a(a+1)(a+2)}{6c(c+1)(c+2)}}\quad ...\quad a_{n}={\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}n!}}}
et finalement
u
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
c
)
n
z
n
n
!
{\displaystyle u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
L'équation différentielle de Kummer étant du second degré, elle admet deux solutions (et toutes leurs combinaisons linéaires ).
La deuxième solution est
z
1
−
c
1
F
1
(
a
+
1
−
c
;
2
−
c
;
z
)
{\displaystyle {z^{1-c}}{_{1}F_{1}(a+1-c;2-c;z)}}
Tricomi a calculé une combinaison linéaire indépendante de
M
(
a
;
c
;
z
)
{\displaystyle M(a;c;z)}
U
(
a
;
c
;
z
)
=
Γ
(
a
)
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
+
z
1
−
c
Γ
(
1
/
c
)
1
F
1
(
a
+
1
−
c
;
2
−
c
;
z
)
=
z
−
a
2
F
0
(
a
;
a
−
c
+
1
;
1
z
)
{\displaystyle U(a;c;z)={\Gamma (a)}{_{1}F_{1}(a;c;z)}+{z^{1-c}\Gamma (1/c)}{_{1}F_{1}(a+1-c;2-c;z)}=z^{-a}{_{2}F_{0}\left(a;a-c+1;{\frac {1}{z}}\right)}}
On désigne alors M comme la fonction hypergéométrique confluente de première espèce et U comme la fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce .
Les polynômes de Laguerre généralisés peuvent s'exprimer à partir de la fonction hypergéométrique confluente :
∀
n
∈
N
,
∀
α
>
−
1
,
L
n
(
α
)
(
x
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
1
)
1
F
1
(
−
n
;
α
+
1
;
x
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall \alpha >-1,\ L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +1)}}{_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x)}}
On peut retrouver des fonctions usuelles comme cas particuliers des fonctions hypergéométriques confluentes :
M
(
a
,
a
,
z
)
=
e
z
{\displaystyle M(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}}
M
(
1
,
1
,
2
z
)
=
e
z
z
sinh
(
z
)
{\displaystyle M(1,1,2z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}\sinh(z)}
M
(
a
,
a
,
z
)
=
e
z
{\displaystyle M(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}}
M
(
0
,
c
,
z
)
=
U
(
0
,
c
,
z
)
=
1
{\displaystyle M(0,c,z)=U(0,c,z)=1}
U
(
a
,
a
+
1
,
z
)
=
1
z
a
{\displaystyle U(a,a+1,z)={\frac {1}{z^{a}}}}
M
(
a
,
a
+
1
,
−
z
)
=
a
z
a
γ
(
a
,
z
)
,
U
(
a
,
a
,
z
)
=
e
z
Γ
(
1
−
a
,
z
)
{\displaystyle M(a,a+1,-z)={\frac {a}{z^{a}}}\gamma (a,z),\ U(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}\Gamma (1-a,z)}
γ et Γ désignent les fonctions gamma incomplètes (en) Edmund Taylor Whittaker , « An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions », Bull. Amer. Math. Soc. vol. 10, no 3, 1903 , p. 125-134 (lire en ligne ) (en) Lucy Joan Slater , Handbook of Mathematical Functions p. 503 (lire en ligne ) , « Confluent hypergeometric functions » (en) Francesco Giacomo Tricomi , « Fonctions hypergéométriques confluentes », Mémorial des sciences mathématiques Gauthier-Villars , vol. 140, 1960 (lire en ligne ) 
_with_a%3D1_and_b%3D2_and_input_z%C2%B2_with_1F1(1,2,z%C2%B2)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1.svg)
![{\displaystyle z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}[\left((n+r)(n+r-1)+c(n+r)\right)z^{n-1}-\left((n+r)+a\right)z^{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5092f4b9e12e67581a1857f0dfe0a47db9be4d12)
![{\displaystyle z^{r-1}a_{0}rc+z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n+1}[\left((n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)\right)z^{n}]-a_{n}\left((n+r)+a\right)z^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8739807000010bd42d7e88d23273e2c5c07a8e8c)
