Fonction polygamma

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Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale définie comme la m+1e dérivée logarithmique de la fonction gamma :

Ici,

est la fonction digamma et est la fonction gamma. On appelle aussi parfois la fonction fonction trigamma (en).

Définition par intégrale[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma peut être représenté par :

Ceci n'est valable que pour Re z > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Relation de récurrence[modifier | modifier le code]

Elle vérifie la relation de récurrence

Théorème de multiplication[modifier | modifier le code]

Le théorème de multiplication (en) donne

valable pour  ; et pour , la formule de multiplication de la fonction digamma est :

Représentation par série[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma a pour représentation en série :

qui n'est valable que pour et pour tout complexe qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

Série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor au point est

qui converge pour . Ici, est la fonction zêta de Riemann.

Références[modifier | modifier le code]