Fonction polygamma

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Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4.

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée[1] ou et définie comme la m+1e dérivée du logarithme de la fonction gamma  :

.

Ce qui équivaut à la dérivée me de la dérivée logarithmique de la fonction gamma  :

  • est la fonction digamma .
  • . On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma (en).

Définition par une intégrale[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma peut être représentée par :

Ceci n'est valable que pour Re z > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg
. . . . . .

Relation de récurrence[modifier | modifier le code]

Elle vérifie la relation de récurrence

Théorème de multiplication[modifier | modifier le code]

Le théorème de multiplication (en) donne

valable pour  ; et pour , la formule de multiplication de la fonction digamma est :

Représentation par série[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma a pour représentation en série :

qui n'est valable que pour et pour tout complexe qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

Série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor au point est

qui converge pour . Ici, est la fonction zêta de Riemann.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Polygamma Function sur mathworld.wolfram.com.

Références[modifier | modifier le code]