Fonction affine

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En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

où les paramètres a et b ne dépendent pas de x.

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Propriété caractéristique[modifier | modifier le code]

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. En effet, si x1 et x2 sont deux réels, l'accroissement f(x2) – f(x1) est proportionnel à x2x1, comme le donne l’égalité :

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :

si x1x2.

On en déduit  : (La dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient directeur de la fonction affine.)

L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :

si x1x2.

Résolution d'équations et d'inéquations[modifier | modifier le code]

Supposons a, b réels et a non nul.

  • L'unique solution de l'équation ax + b = 0 est le réel b/a.
  • L'ensemble des solutions de l'inéquation ax + b ≥ 0 est l'intervalle réel [–b/a, +∞[ si a > 0, ]–∞, –b/a] si a < 0.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple de l'abonnement téléphonique.
Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :
Longueur d'un ressort.
Si au repos le ressort a une longueur L0 et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine L0.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Linear functions2.PNG

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est

La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Détermination de a et b[modifier | modifier le code]

Si M(x1, y1) et N(x2, y2) sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :

Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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