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Loi bêta décentrée
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
paramètres de forme
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
Support
x
∈
[
0
;
1
]
{\displaystyle x\in [0;1]\!}
Densité de probabilité
∑
j
=
0
∞
1
j
!
(
λ
2
)
j
e
−
λ
/
2
x
α
+
j
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
+
j
,
β
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}}
Fonction de répartition
∑
j
=
0
∞
1
j
!
(
λ
2
)
j
e
−
λ
/
2
I
x
(
a
+
j
,
b
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre
λ
{\displaystyle \lambda }
Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :
f
(
x
)
=
{
∑
j
=
0
∞
1
j
!
(
λ
2
)
j
e
−
λ
/
2
x
α
+
j
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
+
j
,
β
)
pour
x
∈
[
0
,
1
]
0
sinon
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}}
où
B
{\displaystyle B}
fonction bêta ,
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
paramètres de forme et
λ
{\displaystyle \lambda }
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :
F
(
x
)
=
∑
j
=
0
∞
1
j
!
(
λ
2
)
j
e
−
λ
/
2
I
x
(
a
+
j
,
b
)
{\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)}
où
I
x
{\displaystyle I_{x}}
fonction bêta incomplète régularisée ,
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
λ
{\displaystyle \lambda }
Cas particuliers Quand
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
loi bêta .
Références (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[détail de l’édition ] (lire en ligne ) (en) J.L. Jr Hodges , « On the noncentral beta-distribution », Annals of Mathematical Statistics vol. 26, 1955 , p. 648–653(en) G.A.F. Seber , « The non-central chi-squared and beta distributions », Biometrika vol. 50, 1963 , p. 542–544
![{\displaystyle x\in [0;1]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394f69db847ba283727b0bc73bccc019572a72ae)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516ff0d585c954b3b51ce86ccab25f2f58fc9593)
