Fonction bêta

Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler, définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t,$

et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction gamma.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta ~\cos ^{2y-1}\theta ~\mathrm {d} \theta$ (par le changement de variable $t=\sin ^{2}\theta$),

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {s^{y-1}}{(1+s)^{x+y}}}~\mathrm {d} s$ (par le changement de variable $t={\dfrac {1}{1+s}}$).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

$\mathrm {B} (x,y+1)={y \over x+y}\mathrm {B} (x,y)$,

$\mathrm {B} (x,y)~\mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}$,

$\mathrm {B} (x,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},x\right)$.

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante :

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : ${\frac {x+y}{xy\mathrm {B} (x,y)}}={\frac {(x+y)!}{x!~y!}}={x+y \choose x}$.

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors Β(x, y) est un nombre transcendant.

La formule de Stirling donne l'équivalent asymptotique

$\mathrm {B} (x,y){\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}{\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

et pour y fixé,

$\mathrm {B} (x,y){\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}\Gamma (y)\,x^{-y}.$

Dérivation

Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

${\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),$

${\partial \over \partial y}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (y)-\psi (x+y))$

où ψ(x) est la fonction digamma.

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))^{2}+(\psi _{1}(x)-\psi _{1}(x+y))\right],$

${\partial ^{2} \over {\partial x\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left[(\psi (x)-\psi (x+y))(\psi (y)-\psi (x+y))-\psi _{1}(x+y)\right],$

où ψ_n(x) est la fonction polygamma.

Fonction bêta incomplète

La fonction bêta incomplète est définie par :

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t$

et vérifie trivialement :

$\mathrm {B} (x;\,a+1,b)+\mathrm {B} (x;\,a,b+1)=\mathrm {B} (x;\,a,b)\quad {\rm {et}}\quad x^{a}(1-x)^{b}=a\mathrm {B} (x;\,a,b+1)-b\mathrm {B} (x;\,a+1,b).$

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

$I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.$

Les relations précédentes deviennent ainsi

$aI_{x}(a+1,b)+bI_{x}(a,b+1)=(a+b)I_{x}(a,b),\quad I_{x}(a,b+1)-I_{x}(a+1,b)=x^{a}(1-x)^{b}{\frac {a+b}{ab\mathrm {B} (a,b)}}.$

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale : $I_{p}(a,n-a+1)=\sum _{j=a}^{n}{n \choose j}p^{j}(1-p)^{n-j}.$

Applications

La fonction bêta intervient dans le calcul du volume $V_{n}$ de la boule unité de $\mathbb {R} ^{n}$ : on a en effet $V_{n}=V_{n-1}\times \mathrm {B} \left({\frac {n-1}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right)=V_{n-1}\times {\frac {\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}+1\right)\,}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}{\sqrt {\pi }}$, ce qui permet d'obtenir $V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.$

La fonction bêta apparait également dans le calcul et la représentation de l'amplitude de diffraction dans les trajectoires de Regge (en). De plus, c'est la première amplitude de diffraction connue en théorie des cordes, conjecturé (en) pour la première fois par Gabriele Veneziano. Elle apparait également dans la théorie des processus d'attachement préférentiel (en), un type de problème d'urne stochastique. La fonction bêta est aussi importante en statistique, e.g. pour les lois bêta et bêta prime. Elle joue aussi un rôle important en analyse par son lien proche avec la fonction Gamma.

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica
• Notices d'autorité :

  • GND
  • Japon

(en) Eric W. Weisstein, « Beta Function », sur MathWorld