Tore

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Modélisation d'un tore

Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :

• En ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore désigne un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface. Une chambre à air, une bouée, certains joints toriques d'étanchéité ou encore un beignet (donut nord-américain) ont ainsi une forme plus ou moins torique.
• En architecture, un tore correspond à une moulure ronde, semi-cylindrique, entourant le pied d'une colonne ou d'un pilier.
• En mathématiques, plus particulièrement en topologie, un tore est un quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie par un réseau, ou tout espace topologique qui lui est homéomorphe. La surface du solide de révolution décrit ci-dessus est généralement homéomorphe à (R/Z)×(R/Z), exception faite des cas dégénérés.

Le solide de révolution en géométrie euclidienne

Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.

Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R³ engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acception, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :

• Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.
• Si R < r, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, et sa surface une sphère.
• Si R = r, le tore est dit « à collier nul ».
• si R > r, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une chambre à air (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).

Les trois types de tores : tore croisé, à collier nul et ouvert.

Équations du tore

Un tore peut être défini paramétriquement par:

$x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

où

u,v appartiennent à l'intervalle [0, 2π),

R est la distance entre le centre du tube et le centre du tore,

r est le rayon du cercle C.

Une équation cartésienne pour un tore symétrique par rapport à l'axe z est

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!$

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient une équation du 4^e degré.

$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2). \,\!$

Aire et volume

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Pour R-r positif ou nul, on a :

• Aire du tore : $A = \int_0^{2\pi}R\,\text{d}\theta\;(\int_0^{2\pi} r\,\text{d}\theta)=4\pi^2rR$

• Volume intérieur du tore : $V = \int_0^{2\pi}R\,\text{d}\theta\;(\int_0^{2\pi}\int_0^r r\,\mathrm dr\text{d}\theta)=2\pi^2r^2R$

Les théorèmes de Guldin permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r).

Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

• Les rotations r_u d'axe (supposé orienté) D et d'angle u ;
• Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
• Le retournement b_Q par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
• La symétrie centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
• Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
• Les composées d'une rotation r_u par le retournement a.

Évidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S¹ par Z/2Z :

$\scriptstyle G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)$.

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

• r_u correspond à (0,u,0) ;
• a correspond à (1,0,0) ;
• Pour un plan Q fixé arbitraire, b_Q correspond à (0,0,1).

En particulier, b_ru(Q)=r_ub_Qr_-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0) ; …...

Cercles de Villarceau

Article détaillé : Cercles de Villarceau.

Colorier un tore

Le théorème des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche toutes les autres.

Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement.

Caractéristique d'Euler d'un tore

La caractéristique d'Euler d'un tore est égale à 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularité.

Applications

• En recherche nucléaire pour la production d'énergie par fusion, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des chambres à vide des accélérateurs de particules du type synchrotron (en négligeant les canaux d'entrée et de sortie).
• En électricité, la forme idéale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique Tⁿ, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :

• Produit cartésien de n copies du cercle unité ;
• Quotient de Rⁿ par Zⁿ ;
• Plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie n par un réseau (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tⁿ est une variété différentielle ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.

Le tore est également obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré. On obtient une variété plate.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tⁿ=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

De la même façon que pour construire un tore de surface externe de dimension 2 il fallait joindre deux à deux les côtés opposés d'un carré en le pliant dans une troisième dimension, pour construire un tore de surface n dimensionnelle, il faut joindre deux à deux les faces n-1 dimensionnelles opposées d'un hypercube de dimension n en pliant cet hypercube dans une nouvelle dimension n+1. Ainsi, un tore de surface externe 3 est le recollement des 3 paires de faces opposées d'un cube dans une quatrième dimension.

Le groupe fondamental de Tⁿ est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zⁿ.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.

Dynamique d'un plasma ou d'un fluide dans un tore

Des réservoirs toroïdes ou toriques (en forme de tore) sont présents dans plusieurs modèles de centrales nucléaires dont le récent AP 1000, ou les réacteurs de la série Mark.

En cas de séisme important avec déplacement latéral du sol, d'explosion ou choc ayant les mêmes conséquences, le flushing (les ondes et vagues induites et leur effet de Ballottement) peut être une source de contraintes inhabituelles et différentiées dans le tore. Comprendre le flushing est donc un enjeu pour certaines technologies utilisant des réservoirs toriques, de même que pour les réservoir circulaire ou toroïde dans un véhicule en déplacement, y compris avion, fusée ou véhicule spatial .

La physique des plasmas formés dans les tores fait également l'objet de nombreuses études, dans le cadre du développement des Tokamaks et de la fusion nucléaire.

Voir aussi

Articles connexes

• Bouteille de Klein
• Cercles de Villarceau
• Complexe simplicial
• Plan projectif
• Tore de Stanford
• Tube (mathématiques)
• Univers en tore bidimensionnel.

Lien externe

• Torus Games Quelques jeux téléchargeables gratuitement, fonctionnant sous Windows et Mac OS X, qui détaillent la topologie du tore

Bibliographie

• (en) Meserole, J.S., A. Fortini (1987), “Slosh Dynamics in a Toroidal Tank,” Journal Spacecraft, Volume 24, Number 6, November-December 1987 (résumé)
• (en) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Nonlinear liquid oscillation in a cylindrical tank with an eccentric core barrel. Journal of Fluids and Structures, Volume 35, November 2012, Pages 120–132 ([http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974612001417 résumé)
• (en) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Frequency response of sloshing in an annular cylindrical tank subjected to pitching excitation. Journal of Sound and Vibration 331:13, 3199-3212 ; En ligne: 2012-06-01. (résumé)