Hypercube

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Une projection d'un hypercube (dans une image bidimensionnelle)

Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés alignés dans chacune des dimensions de l'espace, à angle droit les uns par rapport aux autres.

Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme « polytope de mesure » (qui est apparemment dû à Coxeter ; voir #Références) est aussi utilisé mais il est rare. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de tesseract.

Définition[modifier | modifier le code]

Si E est un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale, on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les 2n points dans E ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.

Représenter un hypercube de dimension n[modifier | modifier le code]

Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

  • Dimension 1 : Un point est un hypercube de dimension zéro. Si on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension un

Hypercube-dim1.PNG

  • Dimension 2 : Si on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction perpendiculaire à partir de lui-même ; il balaie un carré bi-dimensionnel.

Hypercube-dim2.PNG

  • Dimension 3 : Si on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tri-dimensionnel.

Hypercube-dim3.PNG

  • Dimension 4 : Si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadri-dimensionnel (un tesseract unité).

Hypercube-dim4.PNG

  • Dimension n > 3 : On trace un hypercube de dimension n-1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.

En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes

Les hypercubes sont une des trois familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les simplexes et les hyperoctaèdres). Le polytope dual d’un hypercube est un hyperoctaèdre. Le 1-squelette d’un hypercube est un graphe d'hypercube.

Une généralisation du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un « hypercube », « n-cube » ou « polytope mesure ». Le tesseract est l'hypercube quadri-dimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

Le patron d’un hypercube.

4 dimensions[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Tesseract.

L’hypercube à quatre dimensions est également appelé tesseract en anglais, d'après Charles Howard Hinton.

D'après la formule de Gardner, on peut retrouver les propriétés du tesseract en développant (2x + 1)4 :

(2x + 1)4 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

Donc l'hypercube est composé de :

  • 16 sommets ;
  • 32 arêtes ;
  • 8 faces cubiques (soit 24 faces planes) : chacune des faces du tesseract est un cube.

Pour un hypercube de côté c, on a les mesures suivantes:

  • "Volume" (quadridimentionnel) : c4
  • "Surface externe" (tridimentionnelle) : 8c3
  • "Aire totale" (bidimentionnelle) : 24c2

Les faces d'un hypercube sont :

  • Avant / Arrière
  • Gauche / Droite
  • Haut / Bas
  • Ana / Kata

n dimensions[modifier | modifier le code]

Un hypercube à n dimensions possède :

  • Vn = 2n sommets ;
  • Sn = 2 × Sn-1 + Vn-1 arêtes ; (ou n × 2n-1)
  • Fn = 2 × Fn-1 + Sn-1 faces planes ;
  • HFn = 2 × HFn-1 + Fn-1 hyperfaces (cubes ou faces cubiques) ;
  • Il en va de même pour les hyperfaces en 5 dimensions (faces hypercubiques) etc.
  • De manière générale, le nombre de faces à k dimensions d'un hypercube à n dimension est égal à

f_k(H_n) = {n \choose k}2^{n-k}

  • Le nombre total de faces d'un hypercube est de 3^n-1
  • Volume = cn avec c le côté de l'hypercube.
Si on le coupe en n tranches par des hyperplans perpendiculaires à la diagonale, les volumes des tranches sont les nombres d'Euler.
  • Aire totale = Fnc2 avec Fn le nombre de faces
  • Un polytope dual : l'hyperoctaèdre à n dimensions également (appelé aussi n-polytope croisé)

Éléments[modifier | modifier le code]

Un hypercube de dimension n possède 2n côtés (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités ; un carré 2-dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules). Le nombre de sommets (points) d'un hypercube est 2n (un cube a 23 sommets, par exemple).

Le nombre d'hypercubes m-dimensionnels (comme désigné sous le nom m-cube ci-dessus) sur la frontière d'un n-cube est :

 2^{n-m}{n \choose m}.

Par exemple, la frontière d'un 4-cube contient 8 cubes, 24 carrés, 32 segments et 16 sommets.

Éléments d'hypercube
n-cube Graphe Noms
Symbole de Schläfli
Coxeter-Dynkin
Sommets
(0-faces)
Arêtes
(1-faces)
Faces
(2-faces)
Cellules
(3-faces)
(4-faces) (5-faces) (6-faces) (7-faces) (8-faces)
0-cube Complete graph K1.svg Point
-
1                
1-cube Complete graph K2.svg Digone
{} ou {2}
CDW ring.svg
2 1              
2-cube 2-cube.svg Carré
Tétragone
{4}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
4 4 1            
3-cube 3-cube graph.svg Cube
Hexaèdre
{4,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
8 12 6 1          
4-cube 4-cube graph.svg Tesseract
octachore
{4,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
16 32 24 8 1        
5-cube 5-cube graph.svg Penteract (en)
déca-5-tope
{4,3,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
32 80 80 40 10 1      
6-cube 6-cube graph.svg Hexeract
dodéca-6-tope
{4,3,3,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
64 192 240 160 60 12 1    
7-cube 7-cube graph.svg Hepteract
tétradéca-7-tope
{4,3,3,3,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
128 448 672 560 280 84 14 1  
8-cube Octeract Petrie polygon.svg Octeract
hexadéca-8-tope
{4,3,3,3,3,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9-cube 8-cube.svg Ennéneract
octadéca-9-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3}
CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18

Voisinage dans une grille d'hypercube[modifier | modifier le code]

La formule précédente permet de répondre à la question: dans une grille régulière d'hypercubes, combien de voisins v_n possède un hypercube ? Il y a un voisin pour chaque éléments de la frontière, c'est-à-dire

 v_n = \sum_{m=0}^{n-1} 2^{n-m}{n \choose m}.

La formule du binôme permet de factoriser l'expression pour obtenir:

 v_n = 3^n - 1 .

On peut vérifier par exemple que chaque carré d'un pavage possède 32 - 1 = 8 voisins, ou que chaque cube d'un empilement régulier de cubes possède 33 - 1 = 26 voisins.

Rotation d'un n-cube[modifier | modifier le code]

Rotation d'un hypercube.

La définition des rotations dans un espace euclidien quelconque passe par l'algèbre linéaire, et leurs propriétés ne se déduisent pas aisément de celles des rotations en dimension 3. On montre cependant que, de même qu'il est possible de faire tourner un cube autour d'une arête, on peut faire tourner un tesseract autour d'une de ses 2-faces carrées[1], qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un cube entier, etc.

Représentations littéraires et artistiques[modifier | modifier le code]

  • Dans La maison biscornue, une nouvelle de science-fiction de Robert Heinlein, un architecte construit une maison dont le plan est un patron d'hypercube ; à la suite d'un tremblement de terre, la maison se replie pour devenir un véritable hypercube.
  • Dans le film de science-fiction Cube² : Hypercube, les héros sont enfermés dans un tesseract, ou du moins ils évoluent en se déplaçant d'un cube à l'autre parmi les faces de l'hypercube. D'un cube à l'autre, l'orientation de la pesanteur peut varier (en tout cas les personnages le ressentent quand ils passent d'un cube à l'autre) le temps peut se dilater ou se contracter, et les personnages sont amenés à rencontrer des doubles d'eux-mêmes à cause de la superposition de futurs possibles. Mais le lien entre ces propriétés et le fait que l'histoire se déroule dans un tesseract n'est pas explicite et peut-être même inutile, la 4ème dimension étant plus abordée que l'hypercube en question.
  • En architecture, l'Arche de la Défense à Paris en France, est une projection en trois dimensions d'un hypercube.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (en) The Tesseract et (en) 4D Visualization expliquent et illustrent avec des animations les rotations quadridimensionnelles.
  2. (en) « Dali Crucifixion (Corpus Hypercubus) »
  3. Tesseract Encyclopedia of Science

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en) Seeing into four dimensions : comment visualiser un hypercube, par Ken Perlin (en).
  • (en) Hypercube, par Milosz : projection d'un hypercube avec ou sans perspective, rotation à la souris autour des 4 axes.
  • 4dimensions : Explication en français de la notion d'un espace à quatre dimensions par l'hypercube. Créé par Florian Mounier.