Carte locale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Aller à : Navigation, Rechercher

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
- 2.1 Exemples
  - 2.1.1 Voir
  - 2.1.2 Références

[modifier] Définition

Soit E un espace de Banach.

Une carte locale d'un espace topologique X sur E est la donnée d'un couple $(U,\varphi)$ où :

$U$ est un ouvert de X.
$\varphi$ est une application de U dans E telle que $\varphi:U\rightarrow \varphi(U)$ soit un homéomorphisme.

Remarque :

L'application réciproque $\varphi^{- 1}:\varphi(U)\rightarrow U$ est appelée paramétrisation de U.

[modifier] Propriétés

Deux cartes locales sur E, $(U_1,\varphi_1)$ et $(U_2,\varphi_2)$ sont dites compatibles lorsque :

1) $U_1 \cap U_2 \not= \empty$ .

2) l'application dite de changement de cartes $\varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\rightarrow \varphi_2(U_1\cap U_2)$ est un difféomorphisme.

[modifier] Exemples

La projection stéréographique :

Considérons la sphère $S 3$ privé d'un point noté N (N comme "Nord"). On supposera que ses coordonnées cartésiennes (dans un repère orthonormé convenablement choisi) sont (0,0,1).

a) $\varphi:S^3 - \{ N \} \rightarrow \R^2$ : $(x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z})$ est une carte locale de

S 3

.

b) L'application réciproque:

$\varphi^{- 1}:\R^2 \rightarrow S^3 - \{ N \}$ : $(X,Y) \longmapsto ( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{-1+X^2+Y^2}{1+X^2+Y^2})$ est donc le paramétrage de

S 3 - {N}

"déduit" de $\varphi$ .

c) Cette carte locale est compatible avec la carte locale

$\psi:S^3 - \{ S \} \rightarrow \R^2$ : $(x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1+z},\frac{y}{1+z})$ (avec bien sûr S le point diamétralement opposé à N qui a donc comme coordonnées cartésiennes dans le même repère, (0,0,-1)).