Champ magnétique

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Vue d'artiste de la magnétosphère terrestre.

Ferrofluide soumis à un champ magnétique dont l'instabilité provoque des pointes qui l'emportent sur la gravité et la tension superficielle du fluide.

En physique, le champ magnétique est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point de l'espace, et déterminée par la position et l'orientation d'aimants, d'électroaimants et le déplacement de charges électriques. La présence de ce champ se traduit par l'existence d'une force agissant sur les charges électriques en mouvement (dite force de Lorentz), et divers effets affectant certains matériaux (paramagnétisme, diamagnétisme ou ferromagnétisme selon les cas). La grandeur qui détermine l'interaction entre un matériau et un champ magnétique est la susceptibilité magnétique.

Le champ magnétique forme, avec le champ électrique les deux composantes du champ électromagnétique décrit par l'électromagnétisme. Des ondes de champs électrique et magnétique mêlées peuvent se propager librement dans l'espace, et dans la plupart des matériaux. Ces ondes sont appelées ondes électromagnétiques, et correspondent à toutes les manifestations de la lumière, dans tous les domaines de longueur d'onde (ondes radio, domaine micro-onde, infrarouge, domaine visible, ultraviolet, rayons X et rayons gamma). La discipline qui étudie les champs magnétiques statiques (ne dépendant pas du temps) est la magnétostatique.

Les applications de la maîtrise de ce champ sont nombreuses, même dans la vie courante : outre le fait que celui-ci est une composante de la lumière, il explique l'attraction des aimants, l'orientation des boussoles et permet entre autres la construction d'alternateurs et de moteurs électriques. Le stockage d'informations sur bandes magnétiques ou disques durs se fait à l'aide de champs magnétiques. Des champs magnétiques de très forte intensité sont utilisés dans les accélérateurs de particules ou les tokamaks pour focaliser un faisceau de particules très énergétiques dans le but de les faire entrer en collision. Les champs magnétiques sont également omniprésents en astronomie, où ils sont à l'origine de nombreux phénomènes comme le rayonnement synchrotron et le rayonnement de courbure, ainsi que la formation de jets dans les régions où l'on observe un disque d'accrétion. Le rayonnement synchrotron est également abondamment utilisé dans de nombreuses applications industrielles.

Mathématiquement, le champ magnétique est décrit par un champ pseudo vectoriel^[1], qui se rapproche d'un champ de vecteurs par plusieurs aspects, mais présente quelques subtilités au niveau des symétries. Les équations décrivant l'évolution du champ magnétique sont appelées équations de Maxwell, en l'honneur de James Clerk Maxwell qui les a finalisées en 1873. C'est cependant Albert Einstein qui en 1905 en a proposé le premier la vision la plus cohérente, dans le cadre de la relativité restreinte qu'il venait de découvrir et qui en est indissociable.

Sommaire

1 Historique
2 Expression du champ magnétique
3 Manifestations du champ magnétique
4 Champ magnétique, excitation magnétique et aimantation
5 Visualisation du champ magnétique
6 Effets du champ magnétique
7 Énergie magnétique
8 Calcul du champ magnétique
- 8.1 Propriétés mathématiques
  - 8.1.1 Symétries
  - 8.1.2 Changement de référentiel
- 8.2 Calcul du champ
9 Applications
10 Notes et références
11 Voir aussi

[modifier] Historique

Article détaillé : Histoire de l'électricité.

Dès le VI^e siècle av. J.-C., les philosophes grecs décrivaient — et tentaient d'expliquer — l'effet de minerais riches en magnétite. Ces roches étaient issues entres autres de la cité de Magnésie : elle donna son nom au phénomène.

La magnétite, minerai présentant des propriétés magnétiques, intriguait déjà les grecs il y a 2 600 ans.

L'aiguille « montre-sud » est mentionnée pour la première fois au XI^e siècle par Chen Koua et, même s'il y a des attestations de la connaissance de l'aimant en Chine ^[2] dès le III^e siècle av. J.-C., le problème du magnétisme terrestre apparaît beaucoup plus tard. L'utilisation de la boussole dans les techniques de navigation daterait du XII^e siècle et son usage exact reste à préciser du fait d'une navigation essentiellement côtière à cette époque ^[2]. Les boussoles faisaient usage du champ magnétique terrestre, qui se trouve être aujourd'hui à peu près aligné avec l'axe de rotation terrestre, raison pour laquelle une boussole, en indiquant le pôle magnétique, indique aussi (quoique approximativement) la direction du pôle géographique terrestre.

En Occident, Pierre de Maricourt fut l'un des premiers à travailler sur le magnétisme et publia son Epistola de magnete à peu près à la même époque que les savants chinois. Au delà du simple problème des priorités, il serait intéressant de savoir comment certaines techniques ont pu voyager et s'il n'est pas possible que des développements parallèles, et chronologiquement presque concomitants, se soient produits ^[2].

Pour les encyclopédistes des Lumières ^[3], « le magnétisme est le nom général qu’on donne aux différentes propriétés de l’aimant ». Ils attribuent ses effets à une « matière subtile ^[4] , différente de l’air » (parce que ces phénomènes ont également lieu dans le vide) qu’ils appellent magnétique. Plus loin ils affirment que « c’est encore une question non moins difficile que de savoir s’il y a quelque rapport entre la cause du magnétisme & celle de l’électricité, car on ne connoît guère mieux l’une que l’autre. »

Jusqu'au début des années 1820, on ne connaissait que le magnétisme des aimants naturels à base de magnétite. Hans Christian Ørsted montra en 1821 qu'un courant électrique parcourant un fil influence l'aiguille d'une boussole située à proximité. Il fut cependant incapable d'expliquer ce phénomène à la lumière des connaissances de l'époque. La même année, Michael Faraday énonce la loi de Faraday, qui trace un premier lien entre électricité et magnétisme

En 1822, le premier moteur électrique est inventé : la roue de Barlow.

André-Marie Ampère proposa peu après une loi phénoménologique, aujourd'hui démontrée dans le cadre général de l'électromagnétisme, appelé théorème d'Ampère, qui relie le champ magnétique aux courants. Peu après, en 1825, l'électricien William Sturgeon crée le premier électroaimant.

En 1873, James Clerk Maxwell unifie le champ magnétique et le champ électrique, au sein de la théorie de l'électromagnétisme. Ce faisant, il découvre une incompatibilité entre les lois de la mécanique classique et les lois de l'électromagnétisme. Ces dernières prédisent que la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse d'un observateur par rapport à la source qui émet la lumière, hypothèse incompatible avec les lois de la mécanique classique.

En 1873, l'ingénieur belge Zénobe Gramme découvre le premier moteur électrique à courant continu, utilisable à grande échelle.

En 1887, les américains Albert A. Michelson et Edward Morley vérifient expérimentalement (expérience de Michelson-Morley) les prédictions de Maxwell.

En 1905, Albert Einstein résout le paradoxe découvert par Maxwell en montrant que les lois de la mécanique classique doivent en réalité être remplacées par d'autres lois, celles de la relativité restreinte.

En 1933, Walther Meissner et Robert Ochsenfeld découvrent qu'un échantillon supraconducteur plongé dans un champ magnétique a tendance à expulser celui-ci de son intérieur (effet Meissner).

En 1944, Lars Onsager propose le premier modèle (dit modèle d'Ising) décrivant le phénomène de ferromagnétisme.

En 1966, le docteur Karl Strnat découvre les premiers aimants samarium-cobalt, d'une énergie phénoménale (18 à 30 MGOe)^[5].

En 1968 sont découvert les pulsars, cadavres d'étoiles extraordinairement denses, siège des champs magnétiques les plus intenses existant aujourd'hui dans la nature (4×10⁸ teslas pour le pulsar du Crabe, par exemple).

En 1983, une équipe internationale crée des aimants néodyme-fer-bore, les plus puissants aimants permanents connus à ce jour (35 MGOe soit environ 1,25 tesla^[5]).

En 1998, une équipe russe crée un champ magnétique pulsé par une explosion qui atteint 2 800 T^[6].

Le 12 décembre 1999, une équipe américaine crée un champ magnétique continu d'une intensité de 45 T^[7].

En 2006, des champs magnétiques pulsés ont atteint 100 T sans destruction^[8].

[modifier] Expression du champ magnétique

[modifier] Notation

On note généralement le champ magnétique avec la lettre B, écrite en caractère gras ou surmontée d'une flèche, ces deux notations indiquant qu'il s'agit d'un vecteur (ou en l'occurrence d'un pseudovecteur) : $\vec B$ ou $\mathbf B$ . Cette lettre, empruntée à James Clerk Maxwell, vient de ses notations : il décrivait les trois composantes du champ magnétique indépendamment, par les lettres B, C, D. Les composantes du champ électrique étant, dans les notations de Maxwell les lettres E, F, G.

Le champ étant défini dans tout l'espace, c'est en fait une fonction des coordonnées, en général notées par le rayon vecteur r, et éventuellement du temps t, aussi est-il noté B(r) ou B(r, t). Cependant, on utilise souvent la notation B.

[modifier] Unités

Article détaillé : Intensité de champ magnétique.

Des aimants NdFeB, créant un champ de 1,25 tesla (en haut et entre les sphères), supportant 1 300 fois leur propre poids.

L'unité moderne utilisée pour quantifier l'intensité du champ magnétique est le tesla, défini en 1960^[9]. C'est une unité dérivée du système SI. On définit un tesla par un flux d'induction magnétique d'un weber par mètre carré :

1 T = 1 Wb·m^-2 = 1 kg·s^-2·A^-1= 1 N·A^-1·m^-1 = 1 kg·s^-1·C^-1.

Pour diverses raisons historiques remontant aux travaux de Charles de Coulomb, certains auteurs préfèrent utiliser des unités hors du système SI, comme le gauss^[10] ou le gamma^[11]. On a :

1 Tesla ≈ 10 000 gauss (approximation) ;
1 Tesla = 1 000 000 gamma.

Enfin, on utilise également parfois l'œrsted, notamment pour quantifier la « force » des aimants naturels, dont l'équivalent SI est l'ampère par mètre A.m^-1 par la relation :

$1\, \mathrm{Oe} = \frac{10^3}{4 \pi} \mathrm{A \cdot m^{-1}}$ .

[modifier] Ordres de grandeur

Dans l'espace interplanétaire, le champ magnétique est compris entre 10^-10 et 10^-8 T^[12]. Des champs magnétiques à plus grande échelle, par exemple au sein de la Voie Lactée sont également mesurés, par l'intermédiaire du phénomène de rotation de Faraday, en particulier grâce à l'observation des pulsars. L'origine et l'évolution des champs magnétiques aux échelles galactiques et au-delà est à l'heure actuelle (2007) un problème ouvert en astrophysique. Les étoiles, à l'instar des planètes, possèdent aussi un champ magnétique, qui peut être mis en évidence par spectroscopie (effet Zeeman). Une étoile en fin de vie a tendance à se contracter, laissant à l'issu de la phase où elle est le siège de réactions nucléaires un résidu plus ou moins compact. Cette phase de contraction augmente considérablement le champ magnétique à la surface de l'astre compact. Ainsi, une naine blanche possède un champ magnétique pouvant aller jusqu'à 10⁴ teslas, alors qu'un étoile à neutrons jeune, bien plus compacte qu'une naine blanche a un champ mesuré à 10⁸ voire 10⁹ teslas. Certaines étoiles à neutrons appelées pulsars X anormaux et magnétars semblent être dotés d'un champ magnétique jusqu'à 100 fois plus élevé^[13]^,^[14].

Un aimant NdFeB (néodyme-fer-bore) de la taille d'une pièce de monnaie (créant un champ de l'ordre de 1,25 T^[5]) peut soulever un objet de 9 kg et effacer les informations stockées sur une carte de crédit ou une disquette. Les utilisations médicales, comme l'IRM, impliquent des champs d'intensité allant jusqu'à 6 T.

Étant une composante du champ électromagnétique, l'intensité du champ magnétique décroît avec la distance à sa source, mais est de portée infinie. Ceci est intimement lié au fait que la particule élémentaire vecteur de l'interaction électromagnétique, le photon, est de masse nulle.

[modifier] Manifestations du champ magnétique

Articles détaillés : Magnétisme et Électromagnétisme.

En physique classique, les champs magnétiques sont issus de courants électriques. Au niveau microscopique, un électron en « orbite » autour d'un noyau atomique peut être vu comme une minuscule boucle de courant, générant un faible champ magnétique et se comportant comme un dipôle magnétique. Selon les propriétés des matériaux, ces structures magnétiques microscopiques vont donner lieu à essentiellement trois types de phénomènes :

Dans certains cas, les champ générés par des électrons d'atomes voisins présentent une certaine tendance à s'aligner les uns par rapport aux autres, un champ magnétique macroscopique, c'est-à-dire une aimantation spontanée, est susceptible d'apparaître. C'est le phénomène de ferromagnétisme, expliquant l'existence d'aimants permanents. Il est possible de détruire le champ magnétique d'un aimant en le chauffant au delà d'une certaine température. L'agitation thermique générée par le chauffage brise les interactions entre atomes proches qui étaient responsables de l'alignement des champs magnétiques atomiques. En pratique, le phénomène de ferromagnétisme disparaît au-delà d'une certaine température appelée température de Curie. Elle est de 770 degrés Celsius pour le fer.
En l'absence de ferromagnétisme, ou à une température trop élevée pour que celui-ci apparaisse, la présence d'un champ magnétique externe peut amener les champs microscopiques à s'aligner dans le sens du champ. Ce phénomène est appelé paramagnétisme. La transition entre l'état ferromagnétique et l'état paramagnétique se fait par l'intermédiaire d'une transition de phase dite de second ordre (c'est-à-dire que l'aimantation tend continûment vers 0 à mesure que la température approche la température de Curie, mais que sa dérivée par rapport à la température diverge à la transition). Le premier modèle mathématique permettant de reproduire un tel comportement s'appelle le modèle d'Ising, dont la résolution, considérée comme un tour de force mathématique, a été effectuée par le Prix Nobel de chimie Lars Onsager en 1944.
À l'inverse, certains matériaux tendent à réagir en alignant leurs champs magnétiques microscopiques de façon antiparallèle avec le champ, c'est-à-dire s'efforçant de diminuer le champ magnétique imposé de l'extérieur. Un tel phénomène est appelé diamagnétisme.

[modifier] Courants électriques

Un courant électrique, d'intensité I(I>0), parcourant un fil crée un champ magnétique B autour de celui-ci.

Tout courant électrique génère un champ magnétique, ce qu'a montré l'expérience historique d'Ørsted.

La présence d'un courant permet donc d'influencer localement le champ magnétique, c'est le principe des électroaimants. Ce champ magnétique est d'autant plus intense que le courant l'est. Réciproquement, un champ magnétique variable est susceptible de générer un courant électrique. C'est le principe de l'induction magnétique qu'utilisent toutes les machines électriques.

[modifier] Champs magnétiques des planètes

Représentation d'artiste du champ magnétique terrestre

Articles détaillés : Magnétosphère, champ magnétique terrestre et aurore polaire.

La Terre, comme la plupart des planètes du système solaire, possède un champ magnétique. Ce champ magnétique terrestre — qui protège la Terre en déviant les particules chargées issues du Soleil dans une région appelée magnétosphère — est principalement d'origine interne. On suppose qu'il est issu d'effets de convection de la matière située dans le noyau externe de la Terre, principalement composé de fer et de nickel liquide. En particulier, des courants (bien que très faibles), parcourant le noyau induiraient ce champ magnétique, par un processus appelé effet dynamo.

La valeur moyenne du champ magnétique terrestre est d'environ 0,5 gauss (soit 5.10^-5 T). Le champ magnétique terrestre fluctue au cours du temps : sa direction et son intensité ne sont pas constantes. De plus, il n'est pas homogène en tout point du globe^[15].

Aurores au pôle de Jupiter.

En particulier, les champs magnétiques des planètes Jupiter et Saturne, les plus intenses après celui du Soleil^[16] sont actuellement beaucoup étudiés afin notamment de comprendre le décalage entre l'orientation du champ magnétique et l'axe de rotation de la planète, ainsi que ses variations^[17]. La mesure du champ magnétique de Saturne est l'un des objectifs de la mission Cassini-Huygens^[18], tandis que celui de Jupiter sera étudié par la sonde JUNO^[19]. L'origine de ces champs est supposée liée aux mouvements du noyau d'hydrogène métallique qu'elles abritent.

Au niveau des pôles magnétiques de ces planètes, le champ a tendance à guider les particules chargées, issues par exemple du vent solaire. Celles-ci, très énergétiques, interagissent parfois avec l'atmosphère de la planète : c'est ce que l'on peut observer sous la forme des aurores polaires.

[modifier] Monopôles magnétiques

Article détaillé : Monopôle magnétique.

Une des différences fondamentales entre le champ électrique et le champ magnétique est que l'on observe dans la nature des particules possédant une charge électrique, alors que l'on n'observe ni particule ni objet possédant une charge magnétique. En pratique cela se traduit par l'absence de configurations possédant un champ magnétique purement radial, ce qui mathématiquement correspond au fait que le champ magnétique est de divergence nulle.

En particulier, tout aimant possède un pôle nord et un pôle sud magnétique. Si l'on casse cet aimant en deux, on se retrouve avec deux aimants ayant chacun un pôle nord et un pôle sud magnétique. Mathématiquement, cette propriété se traduit par le fait que la divergence du champ magnétique est nulle, propriété formalisée par l'une des équations de Maxwell. Des objets hypothétiques ne possédant qu'un seul pôle magnétique sont appelés monopôles magnétiques.

En revanche, dans le cadre de l'électrodynamique quantique, de tels objets apparaissent dans la résolution de l'équation de Dirac : ce sont les monopôles de Dirac. Dans la théorie de Yang-Mills, on fait intervenir un monopôle de 't Hooft-Polyakov.

[modifier] Origine relativiste

Article détaillé : Transformations de Lorentz du champ électromagnétique.

Une particule chargée, au repos dans le vide, engendre un champ électrique isotrope, identique dans toutes les directions de l'espace.

En revanche, son déplacement brise cette symétrie, à cause d'effets relativistes : cette déformation est à l'origine du champ magnétique.

En 1905, Albert Einstein montra comment le champ magnétique apparaît, comme un des aspects relativistes du champ électrique^[20], plus précisément dans le cadre de la relativité restreinte.

Il se présente comme le résultat de la transformation lorentzienne d'un champ électrique d'un premier référentiel à un second en mouvement relatif.

Lorsqu'une charge électrique se déplace, le champ électrique engendré par cette charge n'est plus perçu par un observateur au repos comme à symétrie sphérique, à cause de la dilatation du temps prédite par la relativité. On doit alors employer les transformations de Lorentz pour calculer l'effet de cette charge sur l'observateur, qui donne une composante du champ qui n'agit que sur les charges se déplaçant : ce que l'on appelle « champ magnétique ».

On peut ainsi décrire les champs magnétique et électrique comme deux aspects d'un même objet physique, représenté en théorie de la relativité restreinte par un tenseur de rang 2.

[modifier] Champ magnétique, excitation magnétique et aimantation

Un matériau plongé dans un champ magnétique est susceptible de générer un nouveau champ magnétique au sein de celui-ci. Plus précisément, il peut générer une densité de dipôles magnétiques suffisante pour que celle-ci génère un champ magnétique mesurable. Un tel phénomène est appelé aimantation.

Un matériau ferromagnétique possède une aimantation spontanée, c'est-à-dire existant même en l'absence de champ extérieur, mais même dans ce cas, la valeur de l'aimantation est influencée par l'intensité du champ magnétique extérieur. Le champ généré par l'aimantation s'ajoute au champ initial, et c'est la somme des deux qui est observée. Dans un tel cas, le terme de champ magnétique désigne le champ total, et le champ initial prend le nom d'excitation magnétique.

En d'autre termes, on est parfois amené à distinguer le champ initial, l'excitation magnétique, notée H, du champ total, noté B, reliés l'un à l'autre par :

$\mathbf B = \mu_0 \left( \mathbf H + \mathbf M \right)$

avec μ₀ la perméabilité magnétique du vide et M l'aimantation du milieu.

L'aimantation est une conséquence de l'excitation magnétique, et il existe donc une fonction (éventuellement compliquée)

$\mathbf M = \mathbf M \left( \mathbf H \right)$ .

Dans les cas les plus simples, ces deux quantités sont proportionnelles l'une de l'autre, et l'on définit la susceptibilité magnétique χ, sans unité, par :

$\mathbf M = \chi \mathbf H$

ce qui permet d'écrire :

$\mathbf B = \mu_0 \left(1 + \chi \right) \mathbf H = \mu_0 \mu_r \mathbf H$

avec

μ r = 1 + χ

qui est appelé la perméabilité magnétique (ou perméabilité) du milieu.

Quand le matériau est anisotrope, la relation entre excitation et aimantation peut être plus complexe. En particulier, ces deux quantités peuvent ne pas avoir même direction. Dans ce cas, si l'on suppose qu'elle sont reliées par une relation linéaire, celle-ci est sous forme matricielle.

[modifier] Visualisation du champ magnétique

[modifier] Lignes de champ

Article détaillé : Ligne de champ.

Mise en évidence de lignes de champ magnétique par des brindilles d'acier et de la limaille.

Par définition, les lignes de champ du champ magnétique sont l'ensemble des courbes « en tout point » tangentes à B.

Ces lignes relient les pôles magnétiques, et par convention on les oriente de sorte que les lignes de champ d'un aimant entrent par le sud et ressortent par le nord. Leur expression locale est telle que :

${\mathbf{B}} \wedge {\mathrm d}{\mathbf{l}} = 0$ .

avec dl = (dx, dy, dz) un vecteur infinitésimal. Une équation paramétrique décrivant les lignes de champ se déduit de la formule ci-dessus en choisissant une variable d'intégration (par exemple x si la composante B_x est non nulle) et en intégrant les équations, qui en coordonnées cartésiennes donnent

$\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} = \frac{B_y}{B_x}$ ,

$\frac{{\mathrm d} z}{{\mathrm d} x} = \frac{B_z}{B_x}$ .

[modifier] Observation

Lorsqu'on approche un aimant d'une poudre de fer, on observe des formes géométriques particulières. Le ferromagnétisme de la limaille de fer fait qu'elle s'aimante légèrement en présence du champ magnétique. Ainsi, la limaille s'orientera de sorte qu'on observera les lignes de champ magnétique.

La forme précise de ces lignes dépend de la forme de l'aimant.

Dans une bobine suffisamment longue, on observe et on montre que le champ magnétique est pratiquement uniforme à l'intérieur : les lignes de champ sont portées par des droites parallèles et de même écart, selon l'axe du solénoïde.

[modifier] Décomposition

Le champ magnétique étant de divergence nulle (on parle parfois de champ solénoïdal), il est possible de le décomposer en deux champs appelé champ toroïdal et champ poloïdal. Une telle décomposition est particulièrement appropriée dans les configurations de forme sphérique, et se trouve donc fréquemment utilisée en géophysique et en physique stellaire. Elle est également utilisé pour décrire le champ magnétique qui règne dans un tokamak.

[modifier] Effets du champ magnétique

[modifier] Effets physiques

[modifier] Force de Lorentz

Article détaillé : Force de Lorentz.

La force de Lorentz.

Le champ magnétique influence les particules chargées au travers de la force de Lorentz.

En l'absence de champ électrique, l'expression de cette force est, pour une particule de charge q animée d'une vitesse v :

$\mathbf F = q \mathbf v \times \mathbf B$

où on a noté le produit vectoriel par une croix, et où les quantités sont exprimées dans les unités du système international.

On peut réécrire cette relation sous forme différentielle pour un fil, en introduisant le courant électrique :

$\mathrm d \mathbf F = I \mathrm d \ell \times \mathbf B$

avec I l'intensité du courant électrique, B le champ magnétique et $\mathrm d \ell$ une portion infinitésimale de fil.

Cette expression se généralise aux distributions de courants bidimensionnelles (surfaces et courants surfaciques) aussi bien que tridimensionnelles (volumes et courants volumiques). On introduit dans ces cas la notion d' « élément de courant » dC, définie par :

dC = j_s dS pour une surface, où j_s est le courant surfacique ;
dC = j dτ pour un volume, où j est le courant volumique.

On a ainsi une expression générale :

$\mathrm d \mathbf F = d \mathbf C \times \mathbf B$

[modifier] Force de Laplace

Article détaillé : Force de Laplace.

La force de Laplace est simplement un cas particulier de la force de Lorentz, pour un barreau homogène et conducteur, parcouru par un courant électrique et placé dans un champ magnétique.

Contrairement à la force de Lorentz, elle ne traite pas des particules constituantes du barreau, mais de l'effet macroscopique : si son expression est similaire, le sens physique des objets considérés diffère. En particulier, la force n'est pas toujours orthogonale à la vitesse.

L'expression de la force de Laplace est :

$\mathrm d \mathbf F = I \mathrm d \ell \times \mathbf B$

avec I l'intensité du courant, B le champ magnétique et $\mathrm d \ell$ un élément infinitésimal du barreau, exprimés dans les unités du système international.

[modifier] Supraconducteurs

L'effet Meissner résulte de l'expulsion des champs magnétiques par un matériau supraconducteur.

Article détaillé : Effet Meissner.

Les matériaux supraconducteurs ont la propriété intéressante de ne pas pouvoir être pénétrés par un champ magnétique : on parle d'expulsion. On observe ce phénomène par exemple au travers de l'effet Meissner.

Une des interprétations possibles consiste à fournir une masse aux photons, porteurs du champ magnétique, ce qui diminue la portée de ce champ à l'intérieur du matériau. Il est ainsi possible de faire des analogies avec des processus comme le mécanisme de Higgs, qui explique la masse des porteurs des interactions nucléaires.

On traduit cela par une expression particulière du potentiel vecteur.

Cet effet ne saurait par ailleurs être observé entre deux aimants : la lévitation statique serait alors interdite par le théorème d'Earnshaw.

Dans la théorie BCS, qui traite des supraconducteurs, on peut montrer que le potentiel vecteur est de la forme :

$\mathbf A \left( x \right) = \mathbf A_0 e^{-\frac{x}{\lambda}}$

avec x la profondeur et λ est la longueur de pénétration caractéristique, exprimées en unités SI :

$\lambda = \sqrt{\frac{m}{2 \mu_0 e^2 \rho_s}}$

avec m la masse d'un électron, e sa charge électrique et ρ_s la densité superfluide du supraconducteur, supposée uniforme et constante, étant toutes exprimées dans le système international d'unités. Ainsi, le potentiel vecteur — donc le champ magnétique — ne pénètre que sur une épaisseur de quelques λ à l'intérieur du matériau.

Si le champ magnétique environnant le matériau supraconducteur est trop intense, celui-ci ne peut expulser le champ dans sa totalité. Certaines régions du matériau supraconducteur vont devenir non supraconductrices et canaliser le champ magnétique. Le supraconducteur a tendance à minimiser la taille de telles régions, qui prennent la forme de tubes alignés le long du champ magnétique. Ces régions sont appelées, pour des raisons évidentes, tubes de flux.

[modifier] Induction, induction mutuelle et ondes

Article détaillé : Induction magnétique.

Chauffage par induction d'une bouteille en métal : la variation d'un champ magnétique induit des courants dans le corps de l'objet, qui échauffent celui-ci par effet Joule.

Le phénomène d'induction électromagnétique (ou induction magnétique ou, simplement, induction) a pour résultat la production d'une différence de potentiel aux bornes d'un conducteur électrique soumis à un champ électromagnétique variable. Cela s'exprime au travers de l'équation locale de Maxwell-Faraday :

$\nabla \times \mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$ .

avec E le champ électrique, B le champ magnétique exprimés dans les unités SI, et $\nabla$ l'opérateur formel nabla.

Ce champ électrique peut à son tour engendrer un champ magnétique, propageant ainsi une onde électromagnétique.

Lorsqu'un matériau est placé dans champ magnétique variant, il apparaît dans celui-ci un champ électrique (dont la circulation est appelée force électromotrice) qui génère à son tour des courants, appelés courants de Foucault. C'est d'une part le principe des alternateurs, qui produisent de l'électricité en déplaçant des aimants. C'est d'autre part le principe des chauffages et plaques à induction, car la dissipation par effet Joule de ces courants échauffe le métal.

Par ailleurs, deux systèmes magnétiques, comme des bobines, peuvent être couplés au travers du champ magnétique. On parle d'induction mutuelle (ou de mutuelle induction). Cet effet modifie le comportement individuel de chaque circuit.

On peut aborder cet effet par un modèle très simple : un conducteur ohmique de conductivité électrique γ est parcouru par un champ magnétique sinusoïdal, d'intensité B₀ et de pulsation ω. Ce champ est, à tout instant t, d'intensité B :

B = B 0 sinω t

Ce champ induit dans le conducteur, d'après la loi de Faraday, un champ électrique E d'intensité E :

E = - ω B 0 cosω t

D'après la loi d'Ohm, il se dissipe donc une puissance moyenne volumique, par effet Joule :

$\mathcal P = \gamma \langle E^2 \rangle = \frac{\gamma \omega^2 B_0^2}{2}$

[modifier] Effet Hall

Article détaillé : Effet Hall.

Un conducteur, parcouru par un courant électrique selon une direction, soumis à un champ magnétique dirigé dans une seconde direction, présente une différence de potentiel selon la troisième direction. Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Hall, en l'honneur du physicien américain Edwin Herbert Hall.

On peut expliquer cet effet au travers de la physique classique, en considérant que les porteurs de charge (par exemple les électrons) qui se déplacent dans le corps du conducteur sont soumis à la force de Lorentz, donc déviés, de sorte que leur répartition est différente d'une part et d'autre du conducteur — d'où la différence de potentiel. On peut l'expliquer de manière plus fondamentale du point de vue de la mécanique quantique.

Cet effet est à la base de nombreux dispositifs de mesure du champ magnétique et du courant électrique.

[modifier] Magnétorésistance

Articles détaillés : Magnétorésistance, Magnétorésistance géante, Magnétorésistance colossale et Magnétorésistance à effet tunnel.

En présence d'un champ magnétique, certains conducteurs voient leur résistance électrique varier. Cet effet est appelé magnétorésistance, et présente de nombreuses applications, par exemple dans les disques durs qui équipent les ordinateurs modernes.

Il n'existe pas à ce jour d'explication définitive de tous les phénomènes de magnétorésistance, mais des théories distinctes qui régissent les principales manifestations de cet effet : la magnétorésistance classique, « géante », « colossale » et la magnétorésistance à effet tunnel.

[modifier] Dipôles magnétiques

Articles détaillés : Dipôle magnétique et moment magnétique.

Un dipôle magnétique, caractérisé par son moment magnétique, est analogue à un aimant droit.

Parfois, on peut introduire la notion de moment magnétique, qui permet de travailler avec des dipôles.

En particulier, on utilise ce modèle au niveau microscopique, lorsqu'un ensemble de molécules ou de particules est parcouru par un courant. Pour une boucle ceinturant une surface orientée S et parcourue par un courant I, on définit le moment magnétique M par :

$\mathbf M = I \mathbf S$

dans les unités du système international.

Cela revient à assimiler l'objet à un aimant droit infiniment fin.

On peut alors introduire une énergie potentielle dipolaire :

$\mathcal E_p = - \mathbf M \cdot \mathbf B$

Ainsi, elle est minimale lorsque le dipôle est aligné avec le champ. On montre de même que, dans une chaîne de dipôles, ils s'orientent tous dans une même direction pour minimiser leur énergie. Dans les cas (fréquents) où on ne sait pas modéliser la structure d'un dipole magnétique par une boucle de courant, le moment magnétique est défini par la relation ci-dessus, c'est-à-dire par l'énergie qu'il faut fournir pour tourner un dipole magnétique dans un champ magnétique donné.

Dans les matériaux, lorsqu'on considère des moments magnétiques de particules, le fait qu'ils s'orientent tous de la même manière ne peut être expliqué que d'un point de vue quantique (principe d'exclusion de Pauli et hamiltonien de Heisenberg).

Lorsqu'on étudie l'influence d'un champ magnétique, non sur des seules particules ponctuelles, mais sur des systèmes — et en particulier des systèmes rigides — on introduit parfois la notion de torseur magnétique :

$T_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -B_z & B_y \\ 0 & B_z & 0 & -B_x \\ 0 & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

Il est antisymétrique et de trace nulle.

En présence d'un champ magnétique, le fer s'aimante à son tour et devient un dipôle. Il est alors soumis aux forces créées par un aimant droit et s'oriente selon les lignes de champ.

Dans le cadre d'un dipôle magnétique de moment M soumis à un champ B, lorsque le champ est homogène, le torseur se réduit au moment car la résultante des forces est nulle. On a donc :

$\mathbf \Gamma = \mathbf M \times \mathbf B$

avec Γ le moment, M le moment magnétique du dipôle et B le champ magnétique, exprimés dans les unités du système international.

Cela explique notamment l'effet d'un champ magnétique sur une boussole : il a tendance à aligner l'aiguille de celle-ci avec le champ.

Si en revanche le champ est inhomogène, alors le dipôle subit de plus une force, dont l'expression est :

$\mathbf F = \left( \mathbf M \cdot \mathbf \nabla \right) \mathbf B$

avec les mêmes notations que précédemment.

Cela explique notamment le fait que deux aimants s'attirent : cette force s'exerce sur le premier de sorte à l'approcher des champs plus intenses, donc plus près de l'autre aimant. En supposant cette fois que les pôles sont ponctuels, alors l'intensité de la force s'exerçant d'un pôle sur l'autre est donnée par^[21] :

$F=\frac{\mu g_1 g_2}{4\pi r^2}$

avec F en newton, g₁ et g₂ l'intensité de ces pôles en A·m, μ la perméabilité magnétique du milieu en T·m·A^-1 et r la distance entre les pôles en mètres.

[modifier] Effets géologiques

Certaines roches sont riches en matériaux ferromagnétiques, qui sont sensibles au champ magnétique. En particulier, ils perdent leurs propriétés magnétiques au delà d'une certaine température, dite température de Curie.
Les roches basaltiques issues par exemple des volcans ou des rifts océaniques, sont chauffées au delà de cette température dans le magma. Lorsqu'elles refroidissent, elles regagnent leurs propriétés magnétiques, et figent l'orientation du champ magnétique terrestre. On observe cet effet au travers des anomalies magnétiques des roches. C'est par l'analyse de ces roches que l'on a observé les inversions du champ terrestre.^[22]^,^[23]
Il existe également des roches, comme l'hématite, dont les propriétés magnétiques sont telles qu'on observe les variations de champ au cours de leur formation. L'étude de ces roches est également un élément déterminant qui appuie la tectonique des plaques.

[modifier] Effets biologiques

[modifier] Effet des champs magnétostatiques

Les différentes espèces connues ne sont pas identiquement sensibles aux champs électromagnétiques. Les données concernant les êtres humains sont encore sporadiques^[24]. Les champs statiques inférieurs à 8 tesla n'ont vraisemblablement pas d'effets physiologiques notables, si ce n'est l'apparition chez certaines personnes de phosphènes lorsqu'ils sont exposés à des champs de plus de 4 T^[25]. L'Organisation mondiale de la Santé mène encore aujourd'hui des études^[26] sur les risques potentiels.

Des champs continus aussi intense sont relativement difficiles à obtenir en dehors des laboratoires spécialisés, les applications courantes impliquant généralement des champs inférieurs au tesla.

Les recherches actuelles s'orientent davantage sur les champs non-ionisants de très basse fréquence (EMF : extremely low frequency), qui ne sont pas statiques, mais semblent agir sur les systèmes biologiques ou parfois provoquer des cancers.^[27]^,^[28]

[modifier] Effet des champs magnétiques pulsés

Les champs pulsés, que l'on peut créer beaucoup plus intenses, provoquent de plus par induction un rayonnement électromagnétique. Celui-ci peut interagir avec les systèmes biologiques, et son effet dépend de la radiorésistance des espèces exposées. Notamment, selon la fréquence, de tels champs peuvent provoquer des radiations ionisantes : ultraviolets, rayons X ou gamma. Ceux-ci sont dangereux pour la santé, et provoquent en particulier la brûlure des tissus.

Récemment, des médecines alternatives faisant intervenir des champs magnétiques faibles pulsés prétendent limiter les cancers ou la sclérose en plaques. Si de tels champs ne semblent pas dangereux, aucune étude scientifique sérieuse n'appuie à ce jour ces allégations.^[29]^,^[30]En revanche, les champs magnétiques pulsés peuvent influencer l'équilibre^[31] et semblent diminuer les symptômes du trouble bipolaire^[32].

Les effets, principalement liés à l'induction dans les nerfs, permettent ainsi via la stimulation magnétique transcranienne, le diagnostic de pathologies neurologiques.

[modifier] Énergie magnétique

Article détaillé : Énergie électromagnétique.

La présence d'un champ magnétique s'exprime globalement par une énergie, dite « énergie magnétique »,ou plus communément pression magnétique. Elle s'exprime par :

$\mathcal E_B = \iiint \frac{B^2}{2 \mu} \, {\rm d} V$ ,

avec B la valeur du champ magnétique et μ la perméabilité magnétique en tout point.

Le champ magnétique ayant une portée infinie, il faudrait mener cette intégrale sur tout l'espace. En pratique, on définit une énergie volumique :

$\mathfrak e_B = \frac{B^2}{2 \mu}$ .

[modifier] Calcul du champ magnétique

[modifier] Propriétés mathématiques

[modifier] Symétries

En temps que champ pseudovectoriel, le champ magnétique a un comportement particulier par rapport aux symétries. En effet, contrairement au champ (vectoriel) électrique, les champs magnétiques ne suivent pas la symétrie de leurs sources. On parle ainsi de vecteur « axial » ou de « pseudovecteur ».

Par exemple, pour une spire circulaire parcourue par un courant :

un plan de symétrie Π⁺ est celui qui contient la spire ;
un plan d'antisymétrie Π^- est tout plan passant par le centre de la spire et orthogonal au premier plan.

Respectivement, Π⁺ et Π^- sont un plan d'antisymétrie et de symétrie pour le champ magnétique.

[modifier] Changement de référentiel

En mécanique classique, où l'on considère des vitesses relatives très inférieures à la vitesse de la lumière, le champ magnétique mesuré est identique dans deux systèmes de coordonnées en translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre (référentiels galiléens). Cette propriété n'est pas partagée par le champ électrique, dont la valeur change d'un référentiel à l'autre si le champ magnétique est non nul.

[modifier] Calcul du champ

Article détaillé : Équation aux dérivées partielles.

Le calcul du champ magnétique créé par un système demande de résoudre des équations différentielles assez complexes. Il existe pour cela une multitude de méthodes numériques comme la méthode des éléments finis, la méthode des différences finies et la méthode des volumes finis pour ne citer que les méthodes les plus répandues. Toutefois, il est possible de calculer analytiquement le champ magnétique dans certains cas simples. Sauf mention contraire, les expressions données pour le calcul du champ magnétique sont exprimées dans les unités SI. Cela explique notamment le facteur $\frac{1}{4\pi}$ .

[modifier] Théorème d'Ampère

Article détaillé : Théorème d'Ampère.

À partir des observations révélant un lien entre courants électriques et champ magnétique, André-Marie Ampère énonça une loi d'abord phénoménologique, qui décrivait l'effet observé. Démontrée depuis, dans le cadre plus général de l'électromagnétisme, cette relation est devenue le théorème d'Ampère. Elle n'est valable, en toute rigueur, que dans les cas magnétostatiques.

La formulation originelle de ce théorème est la suivante :

$\oint_C \mathbf B . \mathrm d\ell = \mu_0 I_{enl}$

avec B le champ magnétique, C une courbe fermée et orientée et I_enl l'intensité « enlacée » qui traverse la surface délimitée par C.

Elle peut être écrite localement, on a alors :

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf j$

où μ₀ est la perméabilité magnétique du vide, et j le vecteur densité de courant.

Mise en défaut dans le cas de champs magnétiques ou électriques dépendant du temps, Maxwell introduisit en 1861 les « courants de déplacement », dont la variation corrigeait cette relation : c'est l'équation locale de Maxwell-Ampère^[33]. On peut l'écrire localement sous la forme :

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$

avec E le champ électrique et ε₀ la perméabilité électrique du vide.

On peut a posteriori réécrire cette loi sous forme intégrale, également appelée théorème d'Ampère :

$\oint_C \mathbf B . \mathrm d\ell = \epsilon_0 (I_{enl} + I_{D})$

avec

$I_{D} = \iint_S \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} . d{\mathbf S}$

où S est la surface délimitée par le contour C.

Ceci se comprend aisément grace au théorème de Green-Stokes : $\iint_S \nabla \times \mathbf B . d{\mathbf S} = \oint_C \mathbf B . \mathrm d\ell$ .

[modifier] Loi de Biot-Savart locale

Article détaillé : Loi de Biot-Savart.

La loi de Biot-Savart permet de donner l'expression du champ magnétique dans un milieu de perméabilité magnétique isotrope et homogène.

Le champ B généré en un point de coordonnées r par une charge q en mouvement, située en un point r’ et se déplaçant à la vitesse v, est donné par la relation suivante :

$\mathbf{B}\left({\mathbf{r}} \right) = \frac{\mu}{4\pi}.\frac{q \mathbf{v}\times ({\mathbf{r}} - {\mathbf{r'}})}{|{\mathbf{r}} - {\mathbf{r'}}|^3}$

Cette expression vaut lorsqu'on exprime :

le champ magnétique B en tesla (T) ;
la charge électrique q en coulomb (C) ;
la vitesse v en mètres par seconde (m.s^-1) ;
la distance |r-r'| en mètres (m) ;
la perméabilité magnétique μ0 = μ₀μ_r dans la même unité que la perméabilité magnétique du vide (qui vaut 4π.10^-7m.kg.C^-2).

[modifier] Loi de Biot-Savart intégrale

Si on a affaire à une distribution de courants, qui est connue en tout point, alors on peut intégrer la relation locale.

Avec les notations précédentes, cela donne :

$\mathbf B ({\mathbf{r}}) = \frac{\mu}{4\pi} \iiint \frac{\mathbf j \left({\mathbf{r'}} \right) \times ({\mathbf{r}}-{\mathbf{r'}})}{|{\mathbf{r}} - {\mathbf{r'}}|^3} {\mathrm d} {\mathbf{V}}$