Solide de Johnson

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La gyrobicoupole octogonale allongée (J37), un solide de Johnson.
Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro.
Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il est concave.

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas un solide de Platon, un solide d'Archimède, un prisme ou un antiprisme. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 a démontré que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms[modifier | modifier le code]

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

  • Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
  • Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
  • Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
  • Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
  • Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
  • Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson[modifier | modifier le code]

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F3 triangles,
F4 carrés,
F5 pentagones,
F6 hexagones,
F8 octogones,
F10 décagones.

Prismatoïdes et rotondes[modifier | modifier le code]

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
1 pyramide carrée Square pyramid.png pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 pyramide pentagonale Pentagonal pyramid.png pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 coupole hexagonale Triangular cupola.png coupole 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 coupole octogonale Square cupola.png coupole 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 coupole décagonale Pentagonal cupola.png coupole 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 rotonde décagonale Pentagonal rotunda.png rotonde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Pyramides modifiées et dipyramides[modifier | modifier le code]

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
7 pyramide triangulaire allongée Elongated triangular pyramid.png pyramide allongée 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v
8 pyramide carrée allongée Elongated square pyramid.png pyramide allongée 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v
9 pyramide pentagonale allongée Elongated pentagonal pyramid.png pyramide allongée 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v
10 pyramide carrée gyroallongée Gyroelongated square pyramid.png pyramide gyroallongée 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v
11 pyramide pentagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal pyramid.png pyramide gyroallongée 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v
12 diamant triangulaire Triangular dipyramid.png dipyramide (ou diamant) 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h
13 diamant pentagonal Pentagonal dipyramid.png dipyramide (ou diamant) 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h
14 diamant triangulaire allongé Elongated triangular dipyramid.png dipyramide allongée (ou diamant) allongé 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h
15 diamant carré allongé Elongated square dipyramid.png dipyramide allongée (ou diamant) allongé 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h
16 diamant pentagonal allongé Elongated pentagonal dipyramid.png dipyramide allongée (ou diamant) allongé 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h
17 diamant carré gyroallongé Gyroelongated square dipyramid.png dipyramide allongée ou (diamant) allongé 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d

Coupoles et rotondes modifiées[modifier | modifier le code]

  • coupole allongée
  • rotonde allongée
  • birotonde allongée
  • coupole-rotonde allongée
  • bicoupole allongée
  • coupole gyroallongée
  • rotonde gyroallongée
  • bicoupole
  • birotonde
  • coupole-rotonde
  • bicoupole gyroallongée
  • birotonde gyroallongée
  • coupole-rotonde gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
18 coupole hexagonale allongée Elongated triangular cupola.png coupole allongée 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 coupole octogonale allongée Elongated square cupola.png coupole allongée 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 coupole décagonale allongée Elongated pentagonal cupola.png coupole allongée 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 rotonde décagonale allongée Elongated pentagonal rotunda.png rotonde allongée 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 coupole hexagonale gyroallongée Gyroelongated triangular cupola.png coupole gyroallongée 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 coupole octogonale gyroallongée Gyroelongated square cupola.png coupole gyroallongée 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 coupole décagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal cupola.png coupole gyroallongée 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 rotonde décagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal rotunda.png rotonde gyroallongée 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 gyrobiprisme triangulaire Gyrobifastigium.png bicoupole 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 orthobicoupole hexagonale Triangular orthobicupola.png bicoupole 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 orthobicoupole octogonale Square orthobicupola.png bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 gyrobicoupole octogonale Square gyrobicupola.png bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 orthobicoupole décagonale Pentagonal orthobicupola.png bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 gyrobicoupole décagonale Pentagonal gyrobicupola.png bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 orthocoupole-rotonde décagonale Pentagonal gyrocupolarotunda.png coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 gyrocoupole-rotonde décagonale Pentagonal orthocupolarotunda.png coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 orthobirotonde décagonale Pentagonal orthobirotunda.png birotonde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 C5v
35 orthobicoupole hexagonale allongée Elongated triangular orthobicupola.png bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 gyrobicoupole hexagonale allongée Elongated triangular gyrobicupola.png bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 gyrobicoupole octogonale allongée Elongated square gyrobicupola.png bicoupole allongée 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4h
38 orthobicoupole décagonale allongée Elongated pentagonal orthobicupola.png bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 gyrobicoupole décagonale allongée Elongated pentagonal gyrobicupola.png bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5v
40 orthocoupole-rotonde décagonale allongée Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 orthobirotonde décagonale allongée Elongated pentagonal orthobirotunda.png birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 gyrobirotonde décagonale allongée Elongated pentagonal gyrobirotunda.png birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5v
44 bicoupole hexagonale gyroallongée Gyroelongated triangular bicupola.png bicoupole gyroallongée 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3v
45 bicoupole octogonale gyroallongée Gyroelongated square bicupola.png bicoupole gyroallongée 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4v
46 bicoupole décagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal bicupola.png bicoupole gyroallongée 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5v
47 coupole-rotonde décagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png coupole-rotonde gyroallongée 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5v
48 birotonde décagonale gyroallongée Gyroelongated pentagonal birotunda.png birotonde gyroallongée 40 90 52 40 0 12 0 0 0 C5v

Prismes augmentés[modifier | modifier le code]

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
49 prisme triangulaire augmenté Augmented triangular prism.png prisme augmenté 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v
50 prisme triangulaire biaugmenté Biaugmented triangular prism.png prisme augmenté 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v
51 prisme triangulaire triaugmenté Triaugmented triangular prism.png prisme augmenté 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h
52 prisme pentagonal augmenté Augmented pentagonal prism.png prisme augmenté 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v
53 prisme pentagonal biaugmenté Biaugmented pentagonal prism.png prisme augmenté 12 23 13 8 3 2 0 0 0 Cs
54 prisme hexagonal augmenté Augmented hexagonal prism.png prisme augmenté 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2h
55 prisme hexagonal parabiaugmenté Parabiaugmented hexagonal prism.png prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h
56 prisme hexagonal métabiaugmenté Metabiaugmented hexagonal prism.png prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v
57 prisme hexagonal triaugmenté Triaugmented hexagonal prism.png prisme augmenté 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3h

Solides de Platon modifiés[modifier | modifier le code]

  • Dodécaèdres augmentés
  • Icosaèdres diminués
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
58 dodécaèdre augmenté Augmented dodecahedron.png dodécaèdre augmenté 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C2v
59 dodécaèdre parabiaugmenté Parabiaugmented dodecahedron.png dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v
60 dodécaèdre métabiaugmenté Metabiaugmented dodecahedron.png dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 -
61 dodécaèdre triaugmenté Triaugmented dodecahedron.png dodécaèdre augmenté 23 45 24 15 0 9 0 0 0 -
62 icosaèdre métabidiminué Metabidiminished icosahedron.png icosaèdre diminué 10 20 12 10 0 2 0 0 0 -
63 icosaèdre tridiminué Tridiminished icosahedron.png icosaèdre diminué 9 15 8 5 0 3 0 0 0 -
64 icosaèdre tridiminué augmenté Augmented tridiminished icosahedron.png icosaèdre diminué 10 18 10 7 0 3 0 0 0 -

Solides d'Archimède modifiés[modifier | modifier le code]

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
65 tétraèdre tronqué augmenté Augmented truncated tetrahedron.png tétraèdre tronqué augmenté 15 27 14 8 3 0 3 0 0 -
66 cube tronqué augmenté Augmented truncated cube.png cube tronqué augmenté 28 48 22 12 5 0 0 5 0 -
67 cube tronqué biaugmenté Biaugmented truncated cube.png cube tronqué augmenté 32 60 30 16 10 0 0 4 0 -
68 dodécaèdre tronqué augmenté Augmented truncated dodecahedron.png dodécaèdre tronqué augmenté 65 105 42 25 5 1 0 0 11 -
69 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté Parabiaugmented truncated dodecahedron.png dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 -
70 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté Metabiaugmented truncated dodecahedron.png dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 -
71 dodécaèdre tronqué triaugmenté Triaugmented truncated dodecahedron.png dodécaèdre tronqué augmenté 75 135 62 35 15 3 0 0 9 -
72 gyro-rhombicosidodécaèdre Gyrate rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 -
73 parabigyro-rhombicosidodécaèdre Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 -
74 métabigyro-rhombicosidodécaèdre Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 -
75 trigyro-rhombicosidodécaèdre Trigyrate rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 -
76 rhombicosidodécaèdre diminué Diminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 -
77 rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 -
78 rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 -
79 rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 -
80 rhombicosidodécaèdre parabidiminué Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 -
81 rhombicosidodécaèdre métabidiminué Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 -
82 rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 -
83 rhombicosidodécaèdre tridiminué Tridiminished rhombicosidodecahedron.png rhombicosidodécaèdre diminué 45 75 32 5 15 9 0 0 3 -

Divers[modifier | modifier le code]

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
84 Disphénoïde adouci Snub disphenoid.png - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 -
85 antiprisme carré adouci Snub square antiprism.png - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 -
86 sphéno-couronne Sphenocorona.png - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 -
87 sphéno-couronne augmentée Augmented sphenocorona.png - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 -
88 sphénoméga-couronne Sphenomegacorona.png - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 -
89 hébesphénoméga-couronne Hebesphenomegacorona.png - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 -
90 disphéno-ceinture Disphenocingulum.png - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 -
91 birotonde bilunaire Bilunabirotunda.png - 14 26 14 8 2 0 0 0 0 -
92 hébesphéno-rotonde triangulaire Triangular hebesphenorotunda.png - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 -

Références[modifier | modifier le code]

  • Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
  • Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : première preuve de cette conjecture.
  • Eric W. Weisstein. Johnson Solid : chaque solide avec son patron

Liens externes[modifier | modifier le code]