Bouteille de Klein

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vue de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions.

En mathématiques, la bouteille de Klein (prononcé kla.in) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Elle est étroitement liée au ruban de Möbius et a des prolongements du plan projectif réel tels que la surface de Boy.

C'est un des exemples les plus simples de variété abstraite, car c'est une surface qui ne peut être représentée convenablement dans l'espace à trois dimensions. Mathématiquement, on dit qu'elle possède une immersion de classe C dans l'espace ℝ3 de dimension trois, mais n'y possède pas de plongement continu.

Construction[modifier | modifier le code]

La bouteille de Klein n'est possible à représenter dans l'espace ℝ3 (l'espace à 3 dimensions) que si l'on accepte qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est « exacte ». Dans ℝ4, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède un plongement (immersion injective) de classe C dans ℝ4).

Voici un plan de montage dans ℝ3. À partir du carré initial, on colle les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens des flèches. La figure obtenue est un cylindre, dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire de retourner l'un des cercles avant de le recoller à l'autre, et pour cela, d'opérer une auto-intersection.

Si les deux segments bleus étaient orientés de la même façon, le recollement des segments opposés donnerait un tore. Si au contraire, les deux segments rouges étaient orientés en sens inverse comme les deux segments bleus, le recollement des segments opposés donnerait un plan projectif.

Construction alternative[modifier | modifier le code]

La bouteille de Klein peut aussi être obtenue par recollement de deux rubans de Möbius le long de leurs bords. De manière équivalente, la bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs.

On se donne deux exemplaires d'un tel carré, et on obtient deux exemplaires de ruban de Möbius en faisant cette fois d'abord l'identification suivant les flèches bleues. Chacun de ces rubans a alors un seul bord : les côtés verticaux rouges qui ont été connectés suite à l'identification précédente ; recoller les deux rubans suivant leurs bords peut alors être considéré comme équivalent à recoller le bord droit du second carré, au bord gauche du premier, et vice-versa. On voit aisément qu'on retrouve alors bien le cylindre, mais avec l'identification des bords bleus déjà effectuée, c'est-à-dire la bouteille de Klein.

Bouteille de Klein séparée selon son plan de symétrie en deux bandes de Möbius

Il est peut-être plus facile de voir qu'une bouteille de Klein coupée en deux dans le sens de la hauteur fournit bien deux rubans de Möbius.

Visualisation[modifier | modifier le code]

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Réalisation de l'immersion de la bouteille de Klein, en verre

Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort intellectuel moins important que ce que l'on pourrait croire.

Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersections qu'il voit, mais que la courbe passe « dessus » et « dessous ». Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud.

Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension, il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe « dessus » et « dessous » au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas.

On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un « nœud ». En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.

Paramétrisation[modifier | modifier le code]

La paramétrisation de l'immersion dans trois dimensions de la bouteille de Klein vue précédemment s'obtient comme suit : u est un paramètre qui suit le corps de la bouteille tandis que v évolue le long de sa section.

\begin{array}{rcl}
x & = & \frac{\sqrt{2}\left( 20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\cos \left(v\right) \left(\cos \left(u\right)\left(3\cos^{2}\left(u\right)-1 \right)-2\cos\left(2u\right)\right)}{80\pi^{3}\sqrt{8\cos^{2}\left(2u\right)-\cos\left(2u\right)\left(24\cos^{3}\left(u\right)-8\cos\left(u\right)+15\right)+6\cos^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin^{2}\left(u\right)\right)+17}}-\frac{3\cos \left(u\right)-3}{4}\\
y & = & -\frac{\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\sin v}{60\pi^{3}}\\
z & = & -\frac{\sqrt{2}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\sin u \,\cos v}{15\pi^{3}\sqrt{8\cos^{2}\left(2u\right)-\cos\left(2u\right)\left(24\cos^{3}\left(u\right)-8\cos\left(u\right)+15\right)+6\cos^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin^{2}u\right)+17}}+\frac{\sin \left(u\right) \cos^{2} \left(u\right)+\sin u}{4}-\frac{\sin u\,\cos u}{2}
\end{array}

\text{avec}\quad0\le u<2\pi\quad\text{et}\quad0\le v<2\pi.


L'immersion « en 8 » de la bouteille de Klein
Cylindre à base en 8, courbé avant d'être recollé en bouteille de Klein

Une paramétrisation plus simple s'obtient de la façon suivante, donnant une immersion en « 8 » de la bouteille de Klein. Elle consiste à prendre une courbe en forme de 8 dans un plan vertical, et à lui faire effectuer un tour complet autour de l'axe Oz pendant que le 8 lui-même effectue un demi-tour. Cette construction est comparable à celle du ruban de Möbius, où le segment pivotant est remplacé par le 8. La bouteille de Klein est alors formée à partir d'un cylindre dont la base est en forme de 8, les deux bases opposées étant recollées de façon compatible avec leur orientation.

\begin{array}{rcl}
x & = & \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u\\
y & = & \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u\\
z & = & \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v
\end{array}

Dans cette immersion, l'auto-intersection est un cercle inscrit dans le plan Oxy. La constante positive r est le rayon de ce cercle. Le paramètre u donne l'angle dans le plan Oxy et v est un paramètre définissant la section de la figure en forme de 8.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Origine du nom[modifier | modifier le code]

Le nom de la surface, « bouteille de Klein », provient en fait d'une erreur de traduction de l'expression allemande Kleinsche Fläche (« surface de Klein »). Il y a eu en effet une confusion entre Fläche (« surface ») et Flasche (« bouteille »). Cependant, le terme fautif s'est imposé, y compris en allemand, où l'on utilise maintenant le terme Kleinsche Flasche (« bouteille de Klein »). Il faut dire que l'immersion de la surface de Klein dans ℝ3 ressemble un peu à une bouteille.

Références dans la culture populaire[modifier | modifier le code]

  • La bouteille de Klein fait l’objet d’un chapitre (XII) dans La potière jalouse de Claude Lévi-Strauss (édition Plon 1985) : interprétations psychanalytiques et champ sémantique des orifices corporels.
  • Une des devises shadoks (« s’il n’y a pas de solution c’est qu’il n’y a pas de problème ») comporte une bouteille de Klein dans son illustration, elle symbolise un problème impossible à résoudre.
  • Dans le dessin animé Futurama, une marque de bière, « klein’s beer », est vendue dans des bouteilles de Klein.
  • Dans le jeu vidéo NetHack, tenter de verser une potion dans elle-même produit le message suivant : That is a potion bottle, not a Klein bottle! (C’est une bouteille de potion, pas une bouteille de Klein !)
  • Dans le jeu Magic the gathering une carte s'appelle « Elkin Bottle »[2] (Ère Glaciaire, en 1995) en hommage à Richard Garfield, inventeur du jeu et mathématicien de son état. On pourra noter que les concepteurs ont pris soin de transformer le nom, « Elkin » étant une anagramme de « Klein » ; les connaisseurs penseront alors à toutes ces autres cartes des débuts de Magic qui constituent des hommages, ou des clins d'œil, et qui ont toutes un nom déformé.
  • Dans le musée du quai Branly, l'image de la bouteille de Klein était explicitement citée dans un panneau pour expliquer la vision de la sexualité dans les civilisations dites primitives. L'homme parfait est perçu comme un individu dont les parties reproductives se confondent avec l'intérieur de la bouche si bien que cet homme n'a ni intérieur ni extérieur. Pour appuyer le discours, le visiteur pouvait remarquer la présence de la bouteille de Klein produite en verre comme ci-dessus au milieu de statuettes primitives. Ce panneau n'est plus visible au musée actuellement.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)
  2. Site magiccorporation

Liens externes[modifier | modifier le code]