Produit semi-direct

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Dans la théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

• $H\cap K=\{1\} \text{ et } G=HK$ (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G)
• $\forall g\in G,\exists!(h,k)\in H\times K,g=hk.$
  (Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K)
• La restriction à K de la surjection canonique $G\to G/H$ est un isomorphisme entre $K$ et $G/H$.
• La surjection canonique $G\to G/H\to 1$ se scinde par un morphisme $s$ tel que $s(G/H)=K$.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

$g_1 = h_1k_1 \text{ et } g_2 = h_2k_2\$

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

$g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\$

décomposé en un élément $h_1k_1h_2k_1^{-1}$ de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément $k_1k_2$ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1h_2k_1^{-1}),k_1k_2)$

Pour tout $k \in K$, l'application

$\quad f(k) : H \to H : h \mapsto khk^{-1}$

est un automorphisme de H. En outre l'application

$f : K \to Aut(H) : k \mapsto f(k)$

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$, et un morphisme $\scriptstyle f$ de $\scriptstyle K$ dans le groupe $\scriptstyle {\rm Aut}(H)$ des automorphismes de $\scriptstyle H$, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $\scriptstyle G$ de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ suivant $\scriptstyle f$ comme le produit cartésien de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ muni de la loi de groupe :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1f(k_1)(h_2),k_1k_2)~$

où l'inverse d'un élément $\scriptstyle \left(h,k\right)$ est $\scriptstyle \left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)~$.

On peut injecter $\scriptstyle H$ dans $\scriptstyle G$ par l'injection canonique $\scriptstyle h\ \mapsto\ (h, e_K)$, et injecter $\scriptstyle K$ dans $\scriptstyle G$ par l'injection canonique $\scriptstyle k\ \mapsto\ (e_H, k)~$. On vérifie alors que $\scriptstyle G$ est le produit semi-direct interne de $\scriptstyle H$ par $\scriptstyle K$ au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme $\scriptstyle f(k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $\scriptstyle k$. On note :

$G = H \rtimes_f K$ ou tout simplement $G = H \times_f K$

Le cas où $\scriptstyle f$ est le morphisme trivial de groupe (ie $f(k_1)(h_2) = h_2$ ) correspond au produit direct.

Exemples

• Le groupe diédral D_n peut par exemple être considéré comme produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion.

Explicitement :

Si $C_n=\langle x\rangle$ et $C_2=\langle y\rangle$, alors $\forall k \in\{0;1;2;\dots;n-1\}, f(y)(x^k)=x^{-k}.$

Géométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.

• Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme $f(v)=u+\varphi(v)$ où $\varphi$ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple $(u,\varphi)$. La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

$(u,\varphi)(v,\psi) := (u + \varphi(v), \varphi \circ \psi).$

• En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
• Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition.
• Le groupe linéaire sur un anneau commutatif R est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe R^× des éléments inversibles de R.
• L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.

Articles connexes

• Extension de groupes
• Holomorphe d'un groupe
• Produit en couronne (en)
• Produit de Zappa-Szép (en)

Référence

(en) Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algebra, MacMillan Publishing Co., 1999, 3^e éd., 626 p. (ISBN 978-0-82840330-6)