Cercles de Villarceau

Animation permettant de voir comment une section de tore donne les cercles de Villarceau

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813–1883).

Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.

Exemple

Prenons un tore de dimensions R = 5 et r = 3 dans le plan xy :

$0 = (x^2+y^2+z^2 + 16)^2 - 100(x^2+y^2). \,\!$

En sectionnant par le plan d'équation z = 0, on obtient deux cercles concentriques, d'équation x²+y² = 2² et x²+y² = 8².

En sectionnant par le plan d'équation x = 0, on obtient deux cercles tangents, d'équation (y−5)²+z² = 3² et (y+5)²+z² = 3².

Deux cercles de Villarceau peuvent être obtenus en sectionnant par le plan d'équation 3x = 4z. Le premier est centré en (0, +3, 0), le second en (0, −3, 0) - les deux ont 5 pour rayon. On peut les réécrire sous la forme d'une paire d'équations paramétriques :

$(x,y,z) = (4 \cos \theta, +3+5 \sin \theta, 3 \cos \theta) \,\!$

$(x,y,z) = (4 \cos \theta, -3+5 \sin \theta, 3 \cos \theta) . \,\!$

Le plan est choisi pour être tangent au tore tout en passant par son centre. Ici, il est tangent en (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) et en (−¹⁶⁄₅, 0, −¹²⁄₅). L'angle de découpe est unique, déterminée par les dimensions du tore.

Occupation de l'espace

Le tore joue un rôle important dans la fibration de Hopf. La sphère S³ est vue comme un espace fibré, de base la sphère traditionnelle S², et avec les cercles usuels S¹ pour fibres. Par projection stéréographique on peut représenter cette figure dans un espace euclidien de dimension 3, à l'exception d'un point qui est envoyé à l'infini (le cercle de S³ correspondant devient un axe de R³). On considère un parallèle de la sphère S² ; son image réciproque (dans R³) par la projection de Hopf est un tore. Les fibres en sont des cercles de Villarceau.

Thomas Banchoff a pu analyser un tel tore à l'aide d'imagerie informatique.

Note et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Villarceau circles » (voir la liste des auteurs)

Références

• (en) Marcel Berger, Geometry II, Springer, 1987 (ISBN 978-3-540-17015-0), § 18.9: Villarceau circles and parataxy, p. 304-305
• (en) H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
• (en) Anton Hirsch, « Extension of the ‘Villarceau-Section’ to Surfaces of Revolution with a Generating Conic », dans Journal for Geometry and Graphics, vol. 6, Lemgo, Heldermann Verlag, 2002 [lire en ligne]
• (en) Hellmuth Stachel (en), « Remarks on A. Hirsch's Paper concerning Villarceau Sections », dans Journal for Geometry and Graphics, vol.6, Heldermann Verlag, 2002
• Yvon Villarceau, « Théorème sur le tore », dans Nouvelles Annales de Mathématiques, Paris, Gauthier-Villars, 1^re série, vol. 7, 1848, p. 345–347 

Liens externes

• TIPE sur les cercles de Villarceau
• Une construction des cercles de Villarceau par rotation des plans de coupe
• Une démonstration utilisant les outils de la géométrie projective
• Le texte de Villarceau (1848) analysé sur le site bibnum
• (en) Eric W. Weisstein, « Torus », MathWorld
• (en) Flat Torus in the Three-Sphere