Variété topologique

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Définition[modifier | modifier le code]

Soit V un espace topologique séparé à base dénombrable. On dit que V est une variété topologique si : pour tout point x de V, il existe un voisinage ouvert U de x, un entier naturel n et un ouvert U' de \mathbb{R}^n, tels que U et U' soient homéomorphes.

Intérêt de la clause de séparation[modifier | modifier le code]

L'utilisation des variétés comme espaces de configuration pour la physique rend la clause de séparation naturelle : il est possible de discerner entre deux états distincts du système, même si on applique une petite perturbation à chacun.

Un exemple d'espace localement homéomorphe à la droite réelle, mais qui ne vérifie pas la condition de séparation de Hausdorff, est donné en formant une « droite réelle avec un point double ». Pour cela, on identifie deux droites réelles, sauf en un point  : les ensembles ℝ × {a} et ℝ × {b} sont soumis à la relation d'identification

(x,a)\sim(x,b)\quad\text{quand}\quad x\ne0.

Dans l'espace quotient, tout voisinage de 0a intersecte tout voisinage de 0b.

Invariance de la dimension[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de l'invariance du domaine, l'entier naturel n tel que V est localement homéomorphe à un ouvert de ℝn est unique ; on l'appelle dimension de la variété topologique V.

Certains auteurs généralisent la définition de variété topologique en permettant que la dimension puisse varier d'un point à l'autre, et alors une variété topologique telle que définie plus haut est dite pure. Si la variété topologique est connexe, alors elle est nécessairement pure.

Variété à bord[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]