Variété topologique
 |
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
|
 |
Le résumé introductif est absent ou ne respecte pas les recommandations.
|
Sommaire |
Définition [modifier]
Soit 
un espace topologique séparé à base dénombrable. On dit que est une variété topologique s'il existe un entier naturel 
tel que tout point 
de admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de ℝn.
Intérêt de la clause de séparation [modifier]
L'utilisation des variétés comme espaces de configuration pour la physique rend la clause de séparation naturelle : il est possible de discerner entre deux états distincts du système, même si on applique une petite perturbation à chacun.
Un exemple d'espace localement homéomorphe à la droite réelle, mais qui ne vérifie pas la condition de séparation de Hausdorff, est donné en formant une « droite réelle avec un point double ». Pour cela, on identifie deux droites réelles, sauf en un point : les ensembles ℝ × {a} et ℝ × {b} sont soumis à la relation d'identification
Dans l'espace quotient, tout voisinage de 0a intersecte tout voisinage de 0b.
Invariance de la dimension [modifier]
D'après le théorème de l'invariance du domaine, l'entier naturel n tel que V est localement homéomorphe à un ouvert de ℝn est unique ; on l'appelle dimension de la variété topologique V.
Certains auteurs généralisent la définition de variété topologique en permettant que la dimension puisse varier d'un point à l'autre, et alors une variété topologique telle que définie plus haut est dite pure. Si la variété topologique est connexe, alors elle est nécessairement pure.
